CHƯƠNG VII: ĐẠO HÀM
Bài 1: ĐẠO HÀM
I/ Định nghĩa
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a; b)\) và \(x_0 \in (a; b)\).
- Đạo hàm tại \(x_0\) kí hiệu:
\(y'(x_0) = f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)
Chú ý:
a) Vật chuyển động theo quãng đường: \(s(t)\)
\(\Rightarrow\) Tốc độ của vật: \(v(t) = s'(t)\)
\(\Rightarrow\) Gia tốc: \(a(t) = v'(t)\)
b) \(\Delta x = x - x_0\) là gia số của biến
\(\Delta y = f(x) - f(x_0)\) là số gia của hàm.
\(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
VD1: \(y = f(x) = x^3, x_0 = 2, f'(x) = ?\)
Cách 1: \(f'(x_0) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12\)
Cách 2: \(f'(x_0) = \frac{d}{dx} (x^3) \big|_{x=2} = 12\)
II/ Phương trình tiếp tuyến
\(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\).
\(\Delta\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M(x_0; y_0)\).
- \(M(x_0; y_0)\) là tiếp điểm.
- \(f'(x_0)\) là hệ số góc.
\(\Delta: y - y_0 = f'(x_0).(x - x_0)\)
III/ Số e
\(\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
Áp dụng: Tính lãi suất kép liên tục.
\(T = T_0(1+r)^n \Rightarrow\) Lãi suất tháng
\(= T_0 \cdot e^{r.t} \Rightarrow\) Lãi suất năm
Bài 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I/ Các quy tắc
Hàm lũy thừa
\((x^n)' = n.x^{n-1}\)
\(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\)
\((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Hàm mũ, logarit
\((e^x)' = e^x\)
\((a^x)' = a^x.\ln a\)
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
\((\log_a x)' = \frac{1}{x.\ln a}\)
Hàm lượng giác
\((\sin x)' = \cos x\)
\((\cos x)' = -\sin x\)
\((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)
\((\cot x)' = \frac{-1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\)
Phép toán
\((u \pm v)' = u' \pm v'\)
\((u.v)' = u'v + uv'\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
Chú ý:
a) Nếu đề cho biến \(u = u(x)\) thì chỉ cần thế như quy tắc và nhân thêm \(u'\).
b) \(y'' = (y')'\)
c) \(\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)' = \frac{a.d - c.b}{(cx+d)^2}\)
CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Bài 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I/ Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
 |
| AI có thể mắc lỗi. Vui lòng kiểm tra thông tin quan trọng. |
\(0^\circ \le (a; b) \le 90^\circ\)
Chú ý: Trong không gian:
O có thể thuộc a hoặc b.
- \(\begin{cases} a \perp b \\ c \perp b \end{cases} \Rightarrow \text{thì } a \text{ và } c \text{ chưa chắc } //\)
II/ Hai đường thẳng \(\perp\)
\((a; b) = 90^\circ \Leftrightarrow a \perp b\)
- \(\begin{cases} a // b \\ c \perp b \end{cases} \Rightarrow c \perp a\)
Bài 2: ĐƯỜNG THẲNG \(\perp\) MẶT PHẲNG
I/ Đường thẳng \(\perp\) mặt phẳng
- \(d \perp (\alpha) \Rightarrow d \perp \text{mọi đường thẳng } \in (\alpha)\)
- \(\begin{cases} d \perp a \\ d \perp b \\ a \cap b \text{ và } a, b \in (\alpha) \end{cases}\)
- Có duy nhất một \((\alpha)\) đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng duy nhất. Và ngược lại.
II/ Liên hệ // và \(\perp\)
\(// \Rightarrow \perp\)
- \(\begin{cases} a // b \\ (P) \perp a \end{cases} \Rightarrow (P) \perp b\)
- \(\begin{cases} (Q) // (P) \\ a \perp (Q) \end{cases} \Rightarrow a \perp (P)\)
- \(\begin{cases} a // (P) \\ b \perp (P) \end{cases} \Rightarrow b \perp a\)
\(\perp \Rightarrow //\)
- \(\begin{cases} a \perp (P) \\ b \perp (P) \\ a \neq b \end{cases} \Rightarrow a // b\)
- \(\begin{cases} (Q) \perp a \\ (P) \perp a \\ (Q) \neq (P) \end{cases} \Rightarrow (Q) // (P)\)
- \(\begin{cases} a \perp b \\ (P) \perp b \\ a \notin (P) \end{cases} \Rightarrow a // (P)\)
III/ Phép chiếu \(\perp\)
 |
| AI có thể mắc lỗi. Vui lòng kiểm tra thông tin quan trọng. |
- H là hình chiếu của A lên (P)
\(\Rightarrow AH \perp (P)\)
- Cho \(\begin{cases} a \subset (P) \\ b \not\subset (P), b \not\perp (P) \\ b' \text{ là hình chiếu của } b \text{ lên } (P) \end{cases}\)
\(\Rightarrow a \perp b \Leftrightarrow a \perp b'\)
Bài 3: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I/ Góc giữa hai mặt phẳng
\(\begin{cases} (P) \cap (Q) = c \\ \text{Trong } (P): a \perp c \\ \text{Trong } (Q): b \perp c \end{cases} \Rightarrow ((P), (Q)) = (a, b)\)
Chú ý: \(0^\circ \le ((P), (Q)) \le 90^\circ\)
II/ Hai mặt phẳng vuông góc
- \((P) \perp (Q) \Rightarrow ((P), (Q)) = 90^\circ\)
- \(\begin{cases} d \perp (P) \\ d \subset (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \perp (Q)\)
- \(\begin{cases} (P) \perp (Q) \\ (P) \cap (Q) = c \\ \text{Trong } (P): d \perp c \end{cases} \Rightarrow d \perp (Q)\)
- \(\begin{cases} (\alpha) \perp (P) \\ (\beta) \perp (P) \\ (\alpha) \cap (\beta) = c \end{cases} \Rightarrow c \perp (P)\)
Bài 4: KHOẢNG CÁCH
I/ Khoảng cách từ một điểm đến một đt, mp
\(d(A, \Delta) = AH\)
Lấy \(M \in \Delta : d(A, \Delta) = AH \le AM\)
\(d(A, (P)) = AH\)
II/ Khoảng cách đt // mp, mp // mp
\(d(a, (P)) = d(A, (P))\)
\(d((Q), (P)) = d(A, (P))\)
III/ Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Cho a, b chéo nhau.
c gọi là đường \(\perp\) chung của a và b
MN gọi là đoạn \(\perp\) chung của a và b.
- \(d(a, b) = MN\)
Chú ý:
a) \((\alpha)\) chứa a sao cho \((\alpha) // b\)
- \(d(a, b) = d(a, (\alpha)) = d(M, (\alpha)) \quad (M \in b)\)
b) \(a \subset (\alpha), b \subset (\beta)\) thoả \((\alpha) // (\beta)\)
- \(d(a, b) = d((\alpha), (\beta)) = d(M, (\beta)) \quad (M \in \alpha)\)
IV/ Thể tích khối đa diện
- Hình lập phương có cạnh a : \(V = a^3\)
- Hình hộp chữ nhật : \(V = a.b.c\)
- Hình lăng trụ : \(V = S_{\text{đáy}} \cdot h\)
- Hình chóp : \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h\)
- Hình chóp cụt : \(V = \frac{1}{3} \cdot (S + \sqrt{S \cdot S'} + S') \cdot h\)
Chú ý:
- \(S_{\text{hình vuông}} = \text{cạnh}^2\)
- \(S_{\text{hình chữ nhật}} = \text{dài} \cdot \text{rộng}\)
- \(S_{\text{hình thoi}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ đường chéo}\)
- \(S_{\text{hình bình hành}} = 2 \cdot S_{\Delta}\)
- \(S_{\Delta \text{ đều}} = \frac{\text{cạnh}^2\sqrt{3}}{4}\)
- \(S_{\Delta \perp} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ cạnh vuông}\)
- \(S_{\Delta \text{ cân}} = \frac{1}{2} \cdot \text{đường cao từ đỉnh} \cdot \text{cạnh đáy}\)
- \(S_{\Delta \perp} = \frac{1}{2} \cdot \text{đường cao} \cdot \text{cạnh huyền}\)
CHƯƠNG IX: XÁC XUẤT
Bài 1: BIẾN CỐ GIAO VÀ QUY TẮC NHÂN XÁC XUẤT
I/ Biến cố giao
- Cho hai biến cố A và B. Biến cố "Cả A và B cùng xảy ra" được gọi là biến cố giao của A và B.
- Kí hiệu: \(AB \Leftrightarrow A \cap B\)
II/ Biến cố xung khắc
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.
\(\Rightarrow A \cap B = \emptyset\)
III/ Biến cố độc lập
- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác xuất xảy ra của biến cố kia.
\(\Rightarrow A\overline{B}, \overline{A}B, \overline{A}\overline{B}\) cùng độc lập
IV/ Quy tắc nhân
- Nếu A và B là biến cố độc lập thì: \(P(AB) = P(A).P(B)\)
- Nếu A và B là biến cố xung khắc: \(P(AB) = 0\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
