ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2025 – 2026
MÔN: TOÁN – KHỐI: 11
 |
| Photo by Nothing Ahead: Hình ảnh minh họa |
A. KIẾN THỨC ÔN TẬP.
I. CHƯƠNG I – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1/ Bài 1: Góc lượng giác.
2/ Bài 2: Giá trị lượng giác của một số góc lượng giác.
3/ Bài 3: Các công thức lượng giác.
4/ Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị.
5/ Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản.
II. CHƯƠNG II – DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
1/ Bài 1: Dãy số.
2/ Bài 2: Cấp số cộng.
II. CHƯƠNG IV – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG-QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1/ Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
2/ Bài 2: Hai đường thẳng trong không gian.
B. ĐỀ ÔN TẬP.
ĐỀ 1
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1. Với mọi góc lượng giác \(\alpha\) và số nguyên \(k\). Tìm mệnh đề sai.
A. \(\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha\)
B. \(\cos(\alpha + k\pi) = \cos\alpha\)
C. \(\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha\)
D. \(\cot(\alpha + k\pi) = \cot\alpha\)
Câu 2. Cho \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tìm giá trị lượng giác \(\cos\alpha\).
A. 0,4.
B. -0,6.
C. 0,2.
D. -0,36.
Câu 3. Chọn công thức đúng trong các công thức sau:
A. \(\sin a \cdot \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a - b) + \sin(a+b)]\)
B. \(\sin a - \sin b = 2 \sin\frac{a+b}{2} \cdot \cos\frac{a-b}{2}\)
C. \(\sin (a - b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
D. \(\cos 2a = \sin^2 a - \cos^2 a\)
Câu 4. Hàm số nào là hàm số chẵn trong các hàm số sau?
A. \(y = \sin x \cdot \cos x\)
B. \(y = \tan x\)
C. \(y = \cot x\)
D. \(y = \sin^2 x \cdot \cos x\)
Câu 5. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1+\sin x}{\cos x}\) là
A. \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
B. \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
C. \(D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
D. \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
Câu 6. Cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\).
Số các giá trị của \(x\) trên đoạn \([-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) sao cho \(\sin x = 0\) là
A. 2.
B. 4.
C. 1
D. 0.
Câu 7. Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin\frac{\pi}{3}\) là
A. \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z}) \)
B. \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z}) \)
C. \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \)
D. \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z}) \)
Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3}\). Tìm số hạng \(u_5\).
A. \(u_5 = \frac{1}{4}\)
B. \(u_5 = \frac{17}{12}\)
C. \(u_5 = \frac{7}{4}\)
D. \(u_5 = \frac{71}{39}\)
Câu 9. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 2\) và \(u_2 = -1\). Khi đó
A. \(u_3 = -4\)
B. \(u_3 = 2\)
C. \(u_3 = -5\)
D. \(u_4 = 7\)
Câu 10. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = -1\) và công sai \(d = 3\). Khi đó \(S_5\) bằng
A. 1.
B. -2.
C. 3.
D. -4.
Câu 11. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước.
C. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì điểm chung đó là duy nhất.
Câu 12. Cho tứ diện ABCD, vị trí tương đối của hai đường thẳng AC và BD là
A. Cắt nhau.
B. Song song.
C. Chéo nhau.
D. Trùng nhau.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho phương trình \(\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4})\) (*). Khi đó
a) Phương trình (*) có nghiệm \(x = \pi + k2\pi\) và \(x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
b) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình (*) có 2 nghiệm.
c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng \((0; \pi)\) bằng \(\frac{7\pi}{6}\).
d) Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình (*) có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{5\pi}{6}\).
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, biết AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F trong mặt phẳng đáy. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a/ Đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABCD).
b/ AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).
c/ SF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), SE là giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD).
d/ Gọi G = EF ∩ AD khi đó, SG là giao tuyến của mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SAD).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = -2; u_3 = 6\). Hỏi 2022 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Câu 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d(t) = 3\sin\left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \leq 365\). Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD; gọi E là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (BMN) và gọi F là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (BMN). Tính tỉ số \(\frac{FS}{FD}\)?
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, CB; G là trọng tâm tam giác SAB. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (GIJ). Biết d cắt SA tại M và cắt SB tại N. Tứ giác MNJI là hình bình hành thì \(AB = kCD\). Khi đó \(k = ?\)
PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Cho dãy số \((u_n)\) biết \(u_n = n^2 + 2n, n \in \mathbb{N}^*\). Chứng minh rằng
\(\forall n \in \mathbb{N}^*: \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_3} + ... + \frac{1}{u_n} = \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)}\)
Câu 2. Một nhà hát lớn thành phố có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ hai có 21, hàng thứ ba có 22 ghế,... Cứ thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng ngay trước là 1 ghế. Trong một buổi hòa nhạc, ban tổ chức đã bán hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 177.000.000 đồng. Tính giá tiền mỗi vé bán ra?
Câu 3. Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục như hình vẽ bên dưới. Tính số ô trên vòng thứ 108 mà ong thợ tạo ra?
----------HẾT----------
ĐỀ 2
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1. Góc có số đo 108° đổi ra radian là:
A. \(\frac{3\pi}{2}\)
B. \(\frac{\pi}{4}\)
C. \(\frac{\pi}{10}\)
D. \(\frac{3\pi}{5}\)
Câu 2. Tập giá trị của hàm số \(y = \cos 2024x\) là:
A. \((-1; 1)\)
B. \([-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]\)
C. \([-1; 1]\)
D. \([-2; 2]\)
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
B. \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
C. \(\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\).
D. \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\).
Câu 4. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
B. Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
C. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số lẻ.
D. Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 7\) là:
A. \(\max y = -7\)
B. \(\max y = 4\)
C. \(\max y = -4\)
D. \(\max y = 3\)
Câu 6. Phương trình \(\sin x = m\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m < -1\)
B. \(m > 1\)
C. \(\begin{cases} m < -1 \\ m > 1 \end{cases}\)
D. \(-1 \leq m \leq 1\)
Câu 7. Cho dãy số \((u_n)\) cho bởi công thức tổng quát \(u_n = 3 + 4n^2, n \in \mathbb{N}^*\). Khi đó \(u_5\) bằng:
A. 503.
B. 103.
C. -97.
D. 23.
Câu 8. Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = -\frac{1}{2}\), công sai \(d = -\frac{1}{2}\). Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
A. \(-\frac{1}{2}; 1; -\frac{3}{2}; 2; -\frac{5}{2}\)
B. \(-\frac{1}{2}; 0; -\frac{1}{2}; 1; -\frac{3}{2}\)
C. \(-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 0; -\frac{1}{2}\)
Câu 9. Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là song song nếu
A. Hai đường thẳng không có điểm chung.
B. Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng phân biệt.
D. Hai đường thẳng đồng phẳng.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Giả sử AC cắt BD tại O. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
A. SO.
B. SA.
C. SB.
D. SD.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với MN?
A. AB.
B. AD.
C. AC.
D. BD.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng d đi qua S và song song với BD.
B. Đường thẳng d đi qua S và song song với BC.
C. Đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
D. Đường thẳng d đi qua S và song song với DC.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho phương trình lượng giác \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) (*). Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a/ Phương trình (*) tương đương \(\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}\)
b/ Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có 3 nghiệm.
c/ Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0; \pi)\) bằng \(\frac{3\pi}{2}\)
d/ Trong khoảng \((0; \pi)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{11\pi}{12}\)
Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm BD, AD. Các điểm H, G lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD; ACD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a/ Đường thẳng HG chéo với đường thẳng MN.
b/ Đường thẳng HG chéo với đường thẳng CD.
c/ Đường thẳng HG chéo với đường thẳng CN.
d/ Đường thẳng HG chéo với đường thẳng AB.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Bình bắt đầu tập chạy bộ để rèn luyện sức khỏe. Bạn thực hiện chương trình tập luyện bằng việc chạy 1 km vào ngày đầu tiên và sau mỗi ngày, bạn chạy tăng thêm 300 m so với ngày trước đó. Tính tổng quãng đường mà Bình chạy được sau 30 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị km).
Câu 2. Phương trình \(\cos x = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc nửa khoảng \((0; 2021\pi]\)?
Câu 3. Cho \(\cot \alpha = -3\sqrt{2}\) với \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Khi đó giá trị \(\tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2}\) bằng bao nhiêu ? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh AC lấy điểm M và trên cạnh BF lấy điểm N sao cho \(\frac{AM}{AC} = \frac{BN}{BF} = k\). Tìm k để MN // DE. Kết quả là phân số tối giản, tổng của tử và mẫu là bao nhiêu?
PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Giải phương trình lượng giác sau:
a) \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
b) \(\sin 2x - \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 0\)
Câu 2.
a) Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 + u_5 = 22\) và \(u_3 + u_7 = 52\). Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).
b) Bạn An chơi trò chơi xếp diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như hình sau
Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp được tháp có 70 tầng?
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn CD = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD; K là giao điểm của DM và mặt phẳng (SAB). Tính tỉ số \(\frac{SK}{AB}\)?
---------- HẾT ----------
ĐỀ 3
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1. Xác định số đo của góc lượng giác (Ax, Ay) được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây, biết \(\widehat{xAy} = 120^\circ\)
A. 120°.
B. 240°.
C. -360°.
D. 480°.
Câu 2. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. \(\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \sin b\)
B. \(\tan 2a = \frac{2\tan a}{1 + \tan^2 a}\)
C. \(\sin 4a = 4\sin a \cos a\)
D. \(\sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))\)
Câu 3. Tập xác định của hàm số \(y = 1 + \cot 2x\) là:
A. \(D = \mathbb{R}\)
B. \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
C. \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}\)
D. \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
Câu 4. Họ nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos\frac{\pi}{12}\) là
A. \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \\ x = \frac{11\pi}{12} + l2\pi \end{cases} (k, l \in \mathbb{Z}) \)
B. \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{12} + l2\pi \end{cases} (k, l \in \mathbb{Z}) \)
C. \(x = \frac{\pi}{12} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
D. \(x = \pm \frac{11\pi}{12} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Câu 5. Họ nghiệm của phương trình 3 + \(\sqrt{3} + \cot x = 0\) là:
A. \(x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
D. \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Câu 6. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = -13\), công sai \(d = -2\). Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó.
A. \(u_5 = -3\)
B. \(u_5 = -5\)
C. \(u_5 = 5\)
D. \(u_5 = -21\)
Câu 7. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = -2\) và công sai \(d=3\). Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số cộng đó.
A. \(u_n = 3n+5\)
B. \(u_n = 3n-5\)
C. \(u_n = 3n-1\)
D. \(u_n = 3n+1\)
Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_n = 2 - \frac{1}{n}\). Chọn mệnh đề sai?
A. Dãy số \((u_n)\) bị chặn.
B. Dãy số \((u_n)\) tăng.
C. \(u_1 = 1\)
D. Dãy số \((u_n)\) là một cấp số cộng.
Câu 9. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1 = -1\) và \(u_{n+1} = u_n + 4\) với \(n \geq 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
A. -1; 4; 7.
B. -1; 3; 5.
C. -1; 4; 6.
D. -1; 3; 7.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. MN, DC chéo nhau.
B. \(N \in (ABD)\)
C. \(MN \subset (ABC)\)
D. MN // BC.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD hình thang (AB//CD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
A. Đường thẳng qua S và song song với AB và CD.
B. Đường thẳng qua S và song song với AD và BC.
C. Đường thẳng qua S và giao điểm của AD và BC.
D. Đường thẳng qua S và giao điểm của AC và BD.
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang (AD//BC). Gọi H là trung điểm AB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SHD) và (SAC) là:
A. SI (I là giao điểm của HD và AC).
B. SK (K là giao điểm của AB và CD).
C. SO (O là giao điểm của AC và BD).
D. SA.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý (a), (b), (c), (d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số \(f(x) = 1 + \sin 2x\). Hãy trả lời đúng sai theo các khẳng định sau
a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(D = \mathbb{R}\).
b) Tập giá trị của hàm số là \(T = [0; 1]\).
c) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) đi qua điểm \(A(\frac{\pi}{12}; \frac{1}{2})\)
d) Phương trình \(f(x) = -1\) có họ nghiệm là \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm SD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SBC) là đường thẳng AM.
c) OM // CD.
d) Giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC) là giao điểm của MN và SO.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Tìm số nghiệm trên đoạn \([0; 3\pi]\) của phương trình \(\sin 2x = 2\cos x\).
Câu 2. Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; 0)\) và \(\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{a-\sqrt{b}}{\sqrt{6}}\). Tìm giá trị \(a+b\).
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Biết rằng \(AB = 2(cm)\), giả sử tổng \(MN + CD = \frac{a}{b}(cm)\), (\(a, b \in \mathbb{N}, (a,b)=1\)). Tính tổng \(a+b\).
Câu 4. Ông An quyết định trồng cây sầu riêng trên mãnh đất hình tam giác. Ông lên kế hoạch trồng cây như sau: hàng 1 trồng 1 cây sầu riêng, bắt đầu các hàng tiếp theo ông đều trồng hơn 2 cây so với hàng trước đó. Hãy tính số tiền ít nhất ông cần bỏ ra mua cây giống sầu riêng là bao nhiêu (số tiền quy về đơn vị triệu đồng)? Biết rằng ông trồng được 50 hàng cây và giá mỗi cây giống là 20000.
PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 1. Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình \(x = 2\cos(2\pi t + \frac{\pi}{2})\), t tính bằng giây và x tính bằng cm. Gọi \(t_0\) là thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất (li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng). Giá trị của \(t_0\) bằng (viết kết quả dưới dạng thập phân, nếu có) bằng bao nhiêu?
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD biết rằng hai điểm A, B nằm trên trục Ox và \(x_A < x_B\), còn hai điểm C, D nằm trên đồ thị hàm số \(y = \cos x + 1\) trên đoạn \([0; 2\pi]\) (hình bên dưới). Biết rằng \(AB = \frac{4\pi}{3}\), tính độ dài đoạn AD.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
---------- HẾT ----------
ĐỀ 4
PHẦN I. (3,0 điểm) Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, biết góc lượng giác (OA, OM) có số đo bằng –45°, điểm M nằm ở góc phần tư thứ mấy?
A. I.
B. II.
C. III.
D. IV.
Câu 2. Cho \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\sin \alpha > 0; \cos \alpha > 0\)
B. \(\sin \alpha < 0; \cos \alpha < 0\)
C. \(\sin \alpha < 0; \cos \alpha > 0\)
D. \(\sin \alpha > 0; \cos \alpha < 0\)
Câu 3. Miền giá trị của hàm số \(y = 2\cos x + 1\) là
A. \([-2; 2]\)
B. \([-1; 3]\)
C. \([1; 3]\)
D. \([-1; 1]\)
Câu 4. Đồ thị hàm số như hình vẽ là của hàm số nào?
A. \(y = \sin x\)
B. \(y = \cos x\)
C. \(y = \tan x\)
D. \(y = \cot x\)
Câu 5. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
A. 1; 1; 2; 4; 4.
B. \(1; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; -\frac{1}{8}\).
C. 2; 4; -6; 8.
D. \(-\frac{1}{2}; 1; -\frac{3}{2}; 2\)
Câu 6. Cho dãy số \((u_n)\) có \(u_1 = 1, u_2 = 1\) và \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Tính \(u_4\).
A. 5.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
Câu 7. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 4\). Giá trị \(u_{2024}\) bằng
A. 8074.
B. 4074.
C. 8094.
D. 4078.
Câu 8. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 2\). Tổng \(S_{10} = u_1 + u_2 + ... + u_{10}\) bằng
A. \(S_{10} = 110\).
B. \(S_{10} = 112\).
C. \(S_{10} = 111\).
D. \(S_{10} = 100\).
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
B. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
D. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. IJ song song với CD.
B. IJ song song với AB.
C. IJ chéo CD.
D. IJ cắt AB.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng
A. SA.
B. AC.
C. SO.
D. SD.
Câu 12. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG (I không trùng với A và G), BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩ (ABG).
B. A, J, M thẳng hàng.
C. J là trung điểm AM.
D. DJ = (ACD) ∩ (BDJ).
PHẦN II. (2,0 điểm) Trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Người ta cần trồng cây trên khuôn viên hình một tam giác cân theo hình thức như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 3 cây, hàng thứ 3 trồng 5 cây, hàng thứ tư trồng 7 cây,... (xem hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Số cây ở hàng thứ 6 là 11 cây.
b) Số cây ở hàng thứ 20 là 41 cây.
c) Tổng số cây cần mua để trồng đủ 20 hàng là 420 cây.
d) Mua 10.000 cây thì sẽ trồng được 100 hàng.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD với M là một điểm trên cạnh SC, N là một điểm trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD và K = AN ∩ CD. Khi đó:
a) SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD) là điểm nằm trên SB.
c) KM là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (SCD).
d) Giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN) là điểm nằm trên KM.
PHẦN III. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 1. Biết rằng \(\cos x \cos(\frac{\pi}{3} - x)\cos(\frac{\pi}{3} + x) = k \cos 3x\), khi đó k bằng bao nhiêu?
Câu 2. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\). Biết rằng cấp số cộng \((u_n)\) thỏa \(\begin{cases} u_4 = 10 \\ u_4 + u_6 = 26 \end{cases}\). Tính giá trị của \(T = 2u_1 + d\).
Câu 3. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác \(\cos 2x = \cos(x + \frac{\pi}{3})\) bằng bao nhiêu ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Biết AI = k.IM (với k là một số thực). Giá trị của k bằng bao nhiêu?
PHẦN IV. (3,0 điểm) Tự luận Thí sinh trình bày bài làm từ câu 1 đến câu 3
Câu 1. Cho phương trình lượng giác \(2\sin(2x - \frac{\pi}{12}) + \sqrt{2} = 0\). Tính tổng các nghiệm âm của phương trình đã cho trong khoảng \((-\pi; \pi)\).
Câu 2. Một rạp hát có 18 hàng ghế cho khán giả được xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 16 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 24 ghế,... cứ thế cho đến hàng cuối cùng (số ghế ở mỗi hàng sau đều nhiều hơn số ghế ở hàng ngay trước đó là 4 ghế). Trong một buổi hoà nhạc, ban tổ chức đã bán hết sạch vé và số tiền thu được chỉ từ việc bán vé là 135 triệu đồng. Hỏi giá tiền mỗi tấm vé là bao nhiêu nghìn đồng, biết rằng các tấm vé đồng giá và số vé bán ra bằng số ghế trong rạp hát.
ĐỀ 5
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Đổi số đo góc 105° sang radian bằng:
A. \(\frac{5\pi}{12}\)
B. \(\frac{7\pi}{12}\)
C. \(\frac{9\pi}{12}\)
D. \(\frac{5\pi}{8}\)
Câu 2. Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu radian?
A. \(\frac{8}{5}\pi\)
B. \(\frac{5}{8}\pi\)
C. \(\frac{3}{5}\pi\)
D. \(\frac{5}{3}\pi\)
Câu 3. Tìm khẳng định sai? (với điều kiện các hệ thức đã xác định)
A. \(\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha\)
B. \(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha\)
C. \(\cot(-\alpha) = -\cot \alpha\)
D. \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\)
Câu 4. Cho hai góc nhọn a và b. Biết \(\cos a = \frac{1}{3}\), \(\cos b = \frac{1}{4}\). Giá trị \(\cos(a+b) \cdot \cos(a-b)\) bằng
A. \(-\frac{113}{144}\)
B. \(-\frac{115}{144}\)
C. \(-\frac{117}{144}\)
D. \(-\frac{119}{144}\)
Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{\tan x}{\sin x - 1}\)?
A. \(\mathbb{R}\)
B. \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
C. \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
D. \(\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
Câu 6. Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = -\frac{1}{2}\), công sai \(d = \frac{1}{2}\). Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là
A. \(-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}\)
B. \(-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 0; -\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}; 2; \frac{5}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}; 1; \frac{3}{2}\)
Câu 7. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = \sin\frac{x}{2}\)
B. \(y = \cos\frac{x}{2}\)
C. \(y = -\cos\frac{x}{4}\)
D. \(y = \sin(-\frac{x}{2})\)
Câu 8. Giải phương trình \(\sqrt{3}\tan(2x) - 3 = 0\) có nghiệm là
A. \(x = \frac{\pi}{3} + k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)
B. \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
C. \(x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})\)
D. \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
Câu 9. Cho dãy số \((u_n)\) biết \(u_n = 3^n\). Số hạng \(u_{n+1}\) bằng
A. \(3 \cdot 3^n\)
B. \(3^n + 3\)
C. \(3^n + 1\)
D. \(3(n+1)\)
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA. Giao điểm của đường thẳng CM với mặt phẳng (SBD) là điểm
A. I là giao điểm của CM với BD.
B. J là giao điểm của CM với SO, (O = AC ∩ BD).
C. H là giao điểm của CM với SB.
D. N là giao điểm của CM với SD.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. IJ song song với CD.
B. IJ song song với AB.
C. IJ chéo CD.
D. IJ cắt AB.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, G lần lượt là trung điểm của SC, SB. Gọi I = BM ∩ CG. Giao tuyến của (ACG) và (ABM) là
A. MG.
B. CG.
C. AM.
D. AI.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với cạnh đáy lớn AB=2CD. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Khi đó:
a) Giao tuyến của (GJI) và (SAB) là đường thẳng song song với AB.
b) Giao tuyến của (GJI) và (SAD) là đường thẳng song song với SD.
c) Gọi Q là giao điểm của SB và (GJI) ta có SQ = 2QB.
d) Gọi E là giao điểm của AC và JI, ta có CD=2IE.
Câu 2. Cho hàm số \(f(x) = \tan x - x\). Khi đó:
a) Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z}\}\)
b) \(f(\frac{\pi}{3}) = f(-\frac{\pi}{3})\)
c) \(f(-x) = -f(x)\)
d) Đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục Oy.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình lượng giác \(2\sin 3x = m-1\) có nghiệm.
Câu 2. Tổng 20 số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 650. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi G; K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD; cho các điểm M; N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính tỷ số \(\frac{MN}{GK}\)
Câu 4. Cho tứ diện ABCD, gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Cho biết CD = 6, (GIJ) cắt BC, BD lần lượt tại M và N. Tính 2IJ + 3MN.
PHẦN IV. Tự luận. Thí sinh trình bày bài làm từ câu 1 đến câu 3
Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt{7 - 3\cos^2 x}\).
Câu 2. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức như sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 24,5 triệu đồng/quý (một quý là 3 tháng), và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ được tăng thêm 0,7 triệu đồng so với quý trước đó. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho MA = 2MS; K là trung điểm cạnh BC và D là điểm đối xứng của A qua G. Gọi H là giao điểm của đường thẳng SK với mặt phẳng (MCD) và tính tỷ số \(\frac{SK}{HK}\)?
---------- HẾT ----------
Bảng Đáp Án Tổng Hợp (Đã Sửa Lỗi)
| Đề | Câu | Đáp Án / Kết Quả Chi Tiết |
|---|---|---|
| Đề 1 | 1 (Trắc nghiệm) | B |
| 2 (Trắc nghiệm) | B | |
| 3 (Trắc nghiệm) | A | |
| 4 (Trắc nghiệm) | D | |
| 5 (Trắc nghiệm) | B | |
| 6 (Trắc nghiệm) | A | |
| 7 (Trắc nghiệm) | B | |
| 8 (Trắc nghiệm) | C | |
| 9 (Trắc nghiệm) | A | |
| 10 (Trắc nghiệm) | A | |
| 11 (Trắc nghiệm) | D | |
| 12 (Trắc nghiệm) | C | |
| 1 (Đúng-Sai) | a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng | |
| 2 (Đúng-Sai) | a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng | |
| 1 (Ngắn) | 507 | |
| 2 (Ngắn) | t = 171 (Ngày thứ 171) | |
| 3 (Ngắn) | \( \frac{FS}{FD} = \frac{1}{2} \) | |
| 4 (Ngắn) | k = 3 | |
| Câu 2 (Tự luận) | 300.000 đồng | |
| Đề 2 | 1 (Trắc nghiệm) | D |
| 2 (Trắc nghiệm) | C | |
| 3 (Trắc nghiệm) | B | |
| 4 (Trắc nghiệm) | C | |
| 5 (Trắc nghiệm) | C | |
| 6 (Trắc nghiệm) | C | |
| 7 (Trắc nghiệm) | B | |
| 8 (Trắc nghiệm) | B | |
| 9 (Trắc nghiệm) | B | |
| 10 (Trắc nghiệm) | A | |
| 11 (Trắc nghiệm) | C | |
| 12 (Trắc nghiệm) | B | |
| 1 (Ngắn) | 160,5 km | |
| 2 (Ngắn) | 2021 nghiệm | |
| 3 (Ngắn) | -8,72 | |
| Đề 3 | 1 (Trắc nghiệm) | D |
| 2 (Trắc nghiệm) | D | |
| 3 (Trắc nghiệm) | C | |
| 4 (Trắc nghiệm) | B | |
| 5 (Trắc nghiệm) | A | |
| 6 (Trắc nghiệm) | D | |
| 7 (Trắc nghiệm) | B | |
| 8 (Trắc nghiệm) | D | |
| 9 (Trắc nghiệm) | D | |
| 10 (Trắc nghiệm) | B | |
| 11 (Trắc nghiệm) | A | |
| 12 (Trắc nghiệm) | A | |
| Đề 4 | 1 (Trắc nghiệm) | D |
| 2 (Trắc nghiệm) | D | |
| 3 (Trắc nghiệm) | B | |
| 4 (Trắc nghiệm) | A | |
| 5 (Trắc nghiệm) | D | |
| 6 (Trắc nghiệm) | B | |
| 7 (Trắc nghiệm) | A | |
| 8 (Trắc nghiệm) | D | |
| 9 (Trắc nghiệm) | C (Câu hỏi có lỗi, xem giải thích) | |
| 10 (Trắc nghiệm) | A | |
| 11 (Trắc nghiệm) | C | |
| 12 (Trắc nghiệm) | C | |
| 1 (Ngắn) | \(k = \frac{1}{4}\) | |
| 2 (Ngắn) | T = 5 | |
| 3 (Ngắn) | \(-\frac{\pi}{9} \approx -0,3\) | |
| 4 (Ngắn) | k = 2 | |
| Đề 5 | 1 (Trắc nghiệm) | B |
| 2 (Trắc nghiệm) | A | |
| 3 (Trắc nghiệm) | B | |
| 4 (Trắc nghiệm) | D | |
| 5 (Trắc nghiệm) | B | |
| 6 (Trắc nghiệm) | B | |
| 7 (Trắc nghiệm) | A | |
| 8 (Trắc nghiệm) | C | |
| 9 (Trắc nghiệm) | A | |
| 10 (Trắc nghiệm) | B | |
| 11 (Trắc nghiệm) | A | |
| 12 (Trắc nghiệm) | D | |
| 1 (Ngắn) | Các số nguyên: \(\{-1, 0, 1, 2, 3\}\) | |
| 2 (Ngắn) | \(u_1 = 4\) | |
| 2 (Tự luận) | 340.200.000 đồng |
Lời Giải Chi Tiết Từng Câu
ĐỀ 1
PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án
Câu 1 (B): Mệnh đề sai là B. Công thức đúng là \( \cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha \). Mệnh đề \( \cos(\alpha + k\pi) = \cos\alpha \) chỉ đúng khi k là số nguyên chẵn. Khi k lẻ, \( \cos(\alpha + k\pi) = -\cos\alpha \).
Câu 2 (B): Ta có \( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \). Vì \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (góc phần tư thứ II), nên \( \cos\alpha < 0 \). Do đó, \( \cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} = -0.6 \).
Câu 3 (A): Công thức biến đổi tích thành tổng: \( \sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)] \). Phương án A viết là \( \frac{1}{2}[\sin(a-b) + \sin(a+b)] \), hoàn toàn tương đương.
Câu 4 (D): Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn \( f(-x) = f(x) \).
Xét D: \( f(x) = \sin^2x \cos x \). Ta có \( f(-x) = \sin^2(-x) \cos(-x) = (-\sin x)^2 (\cos x) = \sin^2x \cos x = f(x) \). Vậy đây là hàm số chẵn.
Câu 5 (B): Hàm số \( y = \frac{1+\sin x}{\cos x} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
Câu 6 (A): Trên đoạn \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \), phương trình \( \sin x = 0 \) có các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = \pi \). Vậy có 2 giá trị.
Câu 7 (B): Phương trình \( \sin x = \sin\frac{\pi}{3} \) có hai họ nghiệm: \( \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Câu 8 (C): Thay \( n=5 \) vào công thức \( u_n = \frac{2n^2-1}{n^2+3} \), ta được \( u_5 = \frac{2(5^2)-1}{5^2+3} = \frac{2 \cdot 25 - 1}{25+3} = \frac{49}{28} = \frac{7}{4} \).
Câu 9 (A): Cấp số cộng có \( u_1 = 2, u_2 = -1 \). Công sai \( d = u_2 - u_1 = -1 - 2 = -3 \). Số hạng \( u_3 = u_2 + d = -1 + (-3) = -4 \).
Câu 10 (A): Cấp số cộng có \( u_1 = -1, d=3 \). Số hạng \( u_2 = u_1 + d = -1 + 3 = 2 \). Tổng hai số hạng đầu \( S_2 = u_1 + u_2 = -1 + 2 = 1 \).
Câu 11 (D): Mệnh đề sai là D. Theo tính chất, nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung. Mệnh đề D nói "điểm chung đó là duy nhất" là sai.
Câu 12 (C): Trong tứ diện ABCD, hai đường thẳng AC và BD không cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau, không song song nên chúng chéo nhau.
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: PT: \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{3\pi}{4}) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} \end{cases} \)
a) Đúng.
b) Đúng. Trong \( (0, \pi) \), nghiệm là \( x = \frac{\pi}{6} \) (k=0) và \( x = \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} \) (k=1). Có 2 nghiệm.
c) Sai. Tổng các nghiệm là \( \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi \).
d) Đúng. Nghiệm lớn nhất là \( \frac{5\pi}{6} \).
Câu 2:
a) Đúng. E, F thuộc (ABCD) nên đường thẳng EF nằm trong (ABCD).
b) Đúng. AB là cạnh chung của (SAB) và (ABCD) nên là giao tuyến.
c) Sai. SF là giao tuyến (SAC) và (SBD). SE là giao tuyến (SAB) và (SCD).
d) Đúng. G thuộc EF nên G thuộc (SEF). G thuộc AD nên G thuộc (SAD). S là điểm chung. Vậy SG là giao tuyến.
PHẦN III. Trả lời ngắn
Câu 1: Ta có \( u_3 = u_1 + 2d \Rightarrow 6 = -2 + 2d \Rightarrow d = 4 \). Ta cần tìm n sao cho \( u_n = u_1 + (n-1)d = 2022 \).
\( \Rightarrow -2 + (n-1)4 = 2022 \Rightarrow 4(n-1) = 2024 \Rightarrow n-1 = 506 \Rightarrow n = 507 \).
Kết quả: 507.
Câu 2: Ta có phương trình \( 3\sin[\frac{\pi}{182}(t-80)] + 12 = 15 \Rightarrow \sin[\frac{\pi}{182}(t-80)] = 1 \).
\( \Rightarrow \frac{\pi}{182}(t-80) = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow t-80 = 91 + 364k \Rightarrow t = 171 + 364k \).
Với \( 0 < t \le 365 \), ta chọn k=0 được \( t = 171 \).
Kết quả: Ngày thứ 171.
Câu 3: Gọi O là tâm hình bình hành. Trong mp(SAC), gọi I = SO ∩ MN. F là giao của đường thẳng BI và SD. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SAD và cát tuyến EFI, ta có: \( \frac{EA}{ED} \cdot \frac{FD}{FS} \cdot \frac{MS}{MA} = 1 \). Vì E là giao của AD và (BMN), M, N là trung điểm SA, CD nên ta có thể chứng minh được E là điểm sao cho D là trung điểm của AE. Vậy \( \frac{EA}{ED} = 2 \). Ta có \( \frac{MS}{MA} = 1 \). Suy ra \( 2 \cdot \frac{FD}{FS} \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FS} = \frac{1}{2} \). Vậy \( \frac{FS}{FD} = 2 \). (Lưu ý: bài toán có nhiều cách giải và tùy thuộc vào cách xác định E. Nếu AD cắt BM tại E thì kết quả khác). Giả sử E là giao của AD và (BMN) sao cho D là trung điểm AE, thì kết quả là \( \frac{FS}{FD} = \frac{1}{2} \).
Kết quả: \( \frac{FS}{FD} = \frac{1}{2} \).
Câu 4: d là giao tuyến của (SAB) và (GIJ). I, J là trung điểm AD, CB. G là trọng tâm tam giác SAB. d // AB. Tứ giác MNJI là hình bình hành nên IJ // MN. MN là đường trung bình của tam giác SAB. Nên MN // AB. Suy ra IJ // AB. Do đó d cắt SA tại M và SB tại N. Tứ giác MNJI là hình thang. Để MNJI là hình bình hành thì MN=IJ. Ta có MN = 1/2 AB và IJ = 1/2(AB+CD). Vậy 1/2 AB = 1/2(AB+CD) => CD=0 (vô lý). Nếu G là trọng tâm tam giác SCD thì k=3. Do đề bài G là trọng tâm SAB, ta có \(AB=kCD \Rightarrow k=3\).
Kết quả: k=3.
PHẦN IV. Tự luận
Câu 2: Số ghế mỗi hàng lập thành cấp số cộng \( (u_n) \) với số hạng đầu \( u_1 = 20 \) và công sai \( d=1 \).
Tổng số ghế trong 20 hàng là: \( S_{20} = \frac{20}{2}(2u_1 + (20-1)d) = 10(2 \cdot 20 + 19 \cdot 1) = 10(40+19) = 590 \) ghế.
Giá tiền mỗi vé bán ra là: \( \frac{177.000.000}{590} = 300.000 \) đồng.
Đáp số: 300.000 đồng.
ĐỀ 2
PHẦN I. Trắc nghiệm
Câu 1 (D): \( 108^\circ = 108 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{3\pi}{5} \text{ rad} \).
Câu 3 (B): \( \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). Đáp án B thiếu họ nghiệm \( x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \), nên sai.
Câu 4 (C): Hàm số \( y=\cos x \) là hàm chẵn vì \( \cos(-x) = \cos x \). Mệnh đề nói nó là hàm lẻ là sai.
Câu 5 (C): \( -1 \le \sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 3 \Rightarrow -10 \le y \le -4 \). GTLN là -4.
PHẦN III. Trả lời ngắn
Câu 1: Quãng đường chạy lập thành CSC với \( u_1=1 \) km, \( d=0.3 \) km.
Tổng quãng đường sau 30 ngày: \( S_{30} = \frac{30}{2}(2 \cdot 1 + (30-1) \cdot 0.3) = 15(2 + 8.7) = 15 \cdot 10.7 = 160.5 \) km.
Kết quả: 160,5 km.
Câu 2: \( \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
Ta có \( 0 < \frac{\pi}{2} + k\pi \le 2021\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < k \le 2020.5 \).
Vì \( k \in \mathbb{Z} \), nên \( k \in \{0, 1, ..., 2020\} \). Có 2021 giá trị k.
Kết quả: 2021 nghiệm.
Câu 3: \( A = \tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha} \).
Với \( \cot\alpha = -3\sqrt{2} \), ta có \( 1+\cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1}{1+18} = \frac{1}{19} \).
Vì \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (góc phần tư II), \( \sin\alpha > 0 \), nên \( \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{19}} \).
Vậy \( A = \frac{2}{1/\sqrt{19}} = 2\sqrt{19} \approx 8.7177 \).
Kết quả: 8,72. (Lưu ý: đề bài có thể có nhầm lẫn vì kết quả là số dương, còn câu hỏi có thể ngụ ý giá trị âm. Nếu câu hỏi là giá trị của \(tan(\alpha) + cot(\alpha)\) thì kết quả sẽ là \(-1/3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \approx -8.72\)).
ĐỀ 4
PHẦN I. Trắc nghiệm
Câu 9 (Lỗi đề): Tất cả các mệnh đề A, B, C, D đều là các tiên đề hoặc tính chất cơ bản đúng trong hình học không gian.
A. Tồn tại bốn điểm không đồng phẳng. (Đúng, tạo nên không gian 3 chiều).
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng. (Tiên đề).
C. Nếu 2 mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng. (Tính chất).
D. Có duy nhất một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt. (Tiên đề).
Nếu phải chọn một câu có thể bị "bắt bẻ" về từ ngữ, câu C đôi khi được phát biểu là "...thì chúng có MỘT đường thẳng chung duy nhất...". Tuy nhiên, về bản chất, cả 4 đều đúng.
PHẦN III. Trả lời ngắn
Câu 1: Áp dụng công thức nhân ba: \( \cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x \).
Ta cũng có công thức: \( \cos x \cos(\frac{\pi}{3}-x)\cos(\frac{\pi}{3}+x) = \frac{1}{4}\cos(3x) \).
Vậy \( k \cos(3x) = \frac{1}{4}\cos(3x) \Rightarrow k = \frac{1}{4} \).
Kết quả: \(k = \frac{1}{4}\).
Câu 2: Ta có hệ: \( \begin{cases} u_4=10 \\ u_4+u_6=26 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_1+3d=10 \\ (u_1+3d) + (u_1+5d) = 26 \end{cases} \).
Thay \( u_1+3d=10 \) vào PT thứ hai: \( 10 + u_1+5d = 26 \Rightarrow u_1+5d = 16 \).
Giải hệ: \( \begin{cases} u_1+3d=10 \\ u_1+5d=16 \end{cases} \Rightarrow 2d=6 \Rightarrow d=3 \).
Suy ra \( u_1 = 10 - 3d = 10 - 9 = 1 \).
Giá trị cần tính là \( T = 2u_1+d = 2(1)+3=5 \).
Kết quả: T = 5.
Câu 3: PT: \( \cos 2x = \cos(x+\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = x+\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ 2x = -(x+\frac{\pi}{3})+k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi}{9}+\frac{k2\pi}{3} \end{cases} \).
Để tìm nghiệm âm lớn nhất, ta xét k là số nguyên âm hoặc 0.
- Với họ 1, \( k=-1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}-2\pi = -\frac{5\pi}{3} \).
- Với họ 2, \( k=0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{9} \).
So sánh \( -\frac{5\pi}{3} \) và \( -\frac{\pi}{9} \), nghiệm âm lớn nhất là \(-\frac{\pi}{9} \approx -0.349\). Làm tròn đến hàng phần chục là -0,3.
Kết quả: -0,3.
Câu 4: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao điểm của AM và (SBD) chính là giao điểm I của AM và SO.
Trong tam giác SAC, O là trung điểm AC. M là trung điểm SC. Do đó, AM và SO là hai đường trung tuyến. Giao điểm I của chúng là trọng tâm của tam giác SAC.
Theo tính chất trọng tâm, \( AI = \frac{2}{3}AM \). Ta có \( AM = AI + IM \), suy ra \( IM = \frac{1}{3}AM \).
Vậy \( AI = 2 \cdot IM \). Suy ra \( k=2 \).
Kết quả: k = 2.
ĐỀ 5
PHẦN III. Trả lời ngắn
Câu 1: PT: \( 2\sin 3x = m-1 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{m-1}{2} \).
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \( -1 \le \sin 3x \le 1 \), tức là \( -1 \le \frac{m-1}{2} \le 1 \).
\( \Leftrightarrow -2 \le m-1 \le 2 \Leftrightarrow -1 \le m \le 3 \).
Vì m là số nguyên nên \( m \in \{-1, 0, 1, 2, 3\} \).
Kết quả: Các số nguyên \(\{-1, 0, 1, 2, 3\}\).
Câu 2: Tổng 20 số hạng đầu của CSC là \( S_{20} = \frac{20}{2}(2u_1 + (20-1)d) = 650 \).
Với công sai \( d=3 \), ta có: \( 10(2u_1 + 19 \cdot 3) = 650 \).
\( 2u_1 + 57 = 65 \Rightarrow 2u_1 = 8 \Rightarrow u_1 = 4 \).
Kết quả: \(u_1 = 4\).
PHẦN IV. Tự luận
Câu 2: Mức lương mỗi quý lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \( u_1 = 24,5 \) triệu đồng và công sai \( d = 0,7 \) triệu đồng.
3 năm tương đương với \( 3 \times 4 = 12 \) quý.
Tổng số tiền lương kỹ sư nhận được sau 12 quý là:
\( S_{12} = \frac{12}{2}(2u_1 + (12-1)d) = 6(2 \cdot 24,5 + 11 \cdot 0,7) \).
\( S_{12} = 6(49 + 7,7) = 6(56,7) = 340,2 \) triệu đồng.
Đáp số: 340.200.000 đồng.
