Tài liệu Tổng Hợp Lý Thuyết Toán 10 (HK1 và HK2) được biên soạn bởi đội ngũ TTKT.
Phần I: Đại số
1. Mệnh đề và Tập hợp
- Mệnh đề: Khái niệm, phủ định, kéo theo ($P \Rightarrow Q$), tương đương ($P \Leftrightarrow Q$), mệnh đề chứa biến. Ký hiệu $ \forall $ (với mọi), $ \exists $ (tồn tại).
- Tập hợp: Khái niệm, cách biểu diễn (liệt kê, tính chất đặc trưng). Tập con ($A \subset B$), bằng nhau ($A=B$).
- Các phép toán:
- Giao: $ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \in B \} $
- Hợp: $ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B \} $
- Hiệu: $ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \notin B \} $
- Phần bù: $ C_E A = E \setminus A $ (khi $A \subset E$)
2. Hàm số
- Định nghĩa: Khái niệm, tập xác định (TXĐ), tập giá trị (TGT).
- Đồ thị: Cách vẽ, điểm thuộc/không thuộc đồ thị.
- Sự biến thiên:
- Đồng biến trên $(a; b)$ nếu $ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $.
- Nghịch biến trên $(a; b)$ nếu $ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) $.
- Bảng biến thiên: Mô tả tính đơn điệu và giá trị của hàm số.
- Hàm số chẵn, lẻ:
- TXĐ $D$ là tập đối xứng (nếu $x \in D$ thì $-x \in D$).
- Chẵn: $f(-x) = f(x), \forall x \in D$. Đồ thị đối xứng qua trục Oy.
- Lẻ: $f(-x) = -f(x), \forall x \in D$. Đồ thị đối xứng qua gốc O.
3. Hàm số bậc hai $ y = ax^2 + bx + c $ ($a \neq 0$)
- TXĐ: $ D = \mathbb{R} $.
- Đỉnh Parabol: $ I(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}) $ với $ \Delta = b^2 - 4ac $.
- Trục đối xứng: Đường thẳng $ x = -\frac{b}{2a} $.
- Bề lõm: Hướng lên nếu $a > 0$, hướng xuống nếu $a < 0$.
- Bảng biến thiên:
- $a > 0$: Nghịch biến trên $(-\infty; -\frac{b}{2a})$, đồng biến trên $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$. GTNN là $ y_I = -\frac{\Delta}{4a} $ tại $x = -\frac{b}{2a}$.
- $a < 0$: Đồng biến trên $(-\infty; -\frac{b}{2a})$, nghịch biến trên $(-\frac{b}{2a}; +\infty)$. GTLN là $ y_I = -\frac{\Delta}{4a} $ tại $x = -\frac{b}{2a}$.
- Đồ thị: Parabol đỉnh I, trục đối xứng $x = -b/2a$.
4. Dấu của tam thức bậc hai $ f(x) = ax^2 + bx + c $ ($a \neq 0$)
- Định lý về dấu:
- $ \Delta < 0 $: $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$, $ \forall x \in \mathbb{R} $.
- $ \Delta = 0 $: $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$, $ \forall x \neq -\frac{b}{2a} $; $ f(-\frac{b}{2a}) = 0 $.
- $ \Delta > 0 $: $f(x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$).
- $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $ x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty) $.
- $f(x)$ trái dấu với $a$ khi $ x \in (x_1; x_2) $. (Quy tắc "Trong trái, ngoài cùng")
- Bất phương trình bậc hai: $ ax^2 + bx + c > 0 $ (hoặc $ <, \ge, \le 0 $). Giải bằng cách xét dấu $f(x)$.
5. Phương trình, Bất phương trình quy về bậc hai
- Chứa ẩn ở mẫu: Đặt điều kiện mẫu khác 0, quy đồng, khử mẫu, giải phương trình/bpt hệ quả, so sánh điều kiện.
- Chứa ẩn trong căn bậc hai:
- $ \sqrt{A} = B \Leftrightarrow \begin{cases} B \ge 0 \\ A = B^2 \end{cases} $
- $ \sqrt{A} = \sqrt{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A \ge 0 \text{ (hoặc } B \ge 0 \text{)} \\ A = B \end{cases} $
- $ \sqrt{A} < B \Leftrightarrow \begin{cases} A \ge 0 \\ B > 0 \\ A < B^2 \end{cases} $
- $ \sqrt{A} > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} B < 0 \\ A \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} B \ge 0 \\ A > B^2 \end{cases} \end{array} \right. $
- Chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối:
- $ |A| = B \Leftrightarrow \begin{cases} B \ge 0 \\ A = B \text{ hoặc } A = -B \end{cases} $
- $ |A| = |B| \Leftrightarrow A = B \text{ hoặc } A = -B $
- $ |A| < B \Leftrightarrow \begin{cases} B > 0 \\ -B < A < B \end{cases} $
- $ |A| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A > B \\ A < -B \end{array} \right. $
6. Sai số và Số gần đúng
- Số gần đúng: $ \bar{a} $. Số đúng: $a$.
- Sai số tuyệt đối: $ \Delta_a = |a - \bar{a}| $. Nếu $ |a - \bar{a}| \le d $ thì $ \bar{a} - d \le a \le \bar{a} + d $. $d$ là độ chính xác.
- Sai số tương đối: $ \delta_a = \frac{\Delta_a}{|\bar{a}|} $.
- Quy tròn số: Theo độ chính xác cho trước hoặc đến hàng chữ số đáng tin.
Phần II: Hình học
1. Vectơ
- Định nghĩa: Đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu $ \vec{AB} $. Vectơ-không $ \vec{0} $. Độ dài $ |\vec{AB}| = AB $.
- Vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau:
- Cùng phương: Giá song song hoặc trùng nhau.
- Cùng hướng: Cùng phương và cùng chiều.
- Bằng nhau: $ \vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b} $ cùng hướng và $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $.
- Phép toán:
- Tổng: Quy tắc 3 điểm ($ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $), quy tắc hình bình hành ($ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $ nếu ABCD là hbh).
- Hiệu: $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $. Quy tắc: $ \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB} $.
- Tích với số thực: $ k\vec{a} $. Cùng hướng với $ \vec{a} $ nếu $ k>0 $, ngược hướng nếu $ k<0 $. Độ dài $ |k\vec{a}| = |k||\vec{a}| $.
- Điều kiện cùng phương: $ \vec{a}, \vec{b} $ cùng phương ($ \vec{b} \neq \vec{0} $) $ \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}: \vec{a} = k\vec{b} $.
- Điều kiện thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng $ \Leftrightarrow \exists k \neq 0: \vec{AB} = k\vec{AC} $.
- Phân tích vectơ: Mọi $ \vec{x} $ đều phân tích được duy nhất theo 2 vectơ không cùng phương $ \vec{a}, \vec{b} $: $ \vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b} $.
2. Hệ trục tọa độ Oxy
- Tọa độ điểm: $ M(x; y) \Leftrightarrow \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} $.
- Tọa độ vectơ: $ \vec{u}(x; y) \Leftrightarrow \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} $.
- Tọa độ $ \vec{AB} $: $ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) $.
- Biểu thức tọa độ phép toán: Cho $ \vec{a}(x_1; y_1), \vec{b}(x_2; y_2) $:
- $ \vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2) $
- $ k\vec{a} = (kx_1; ky_1) $
- Vectơ bằng nhau: $ \vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{cases} $.
- Hai vectơ cùng phương: $ \vec{a}, \vec{b} $ cùng phương ($ \vec{b} \neq \vec{0} $) $ \Leftrightarrow \exists k: x_1 = kx_2, y_1 = ky_2 $ $ \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} $ (nếu $x_2, y_2 \neq 0$). Hoặc $ x_1y_2 - x_2y_1 = 0 $.
- Tọa độ trung điểm I của AB: $ I(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) $.
- Tọa độ trọng tâm G của $ \triangle ABC $: $ G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}) $.
3. Tích vô hướng của hai vectơ
- Định nghĩa: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b}) $.
- Biểu thức tọa độ: $ \vec{a}(x_1; y_1), \vec{b}(x_2; y_2) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 $.
- Tính chất: Giao hoán, phân phối, $ (k\vec{a})\cdot\vec{b} = k(\vec{a}\cdot\vec{b}) $, $ \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $.
- Ứng dụng:
- Tính độ dài vectơ: $ |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $. Độ dài đoạn AB: $ AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} $.
- Tính góc giữa hai vectơ: $ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}} $.
- Điều kiện vuông góc: $ \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0 $.
4. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
- Vectơ chỉ phương (VTCP): $ \vec{u} \neq \vec{0} $ có giá song song/trùng với đường thẳng.
- Vectơ pháp tuyến (VTPT): $ \vec{n} \neq \vec{0} $ có giá vuông góc với đường thẳng. Nếu $ \vec{u}(u_1; u_2) $ là VTCP thì $ \vec{n}(-u_2; u_1) $ hoặc $ \vec{n}(u_2; -u_1) $ là VTPT.
- Phương trình tham số: $d$ qua $M_0(x_0; y_0)$ có VTCP $ \vec{u}(u_1; u_2) $: $$ \begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + u_2 t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$
- Phương trình tổng quát: $d$ có VTPT $ \vec{n}(A; B) $: $ Ax + By + C = 0 $ ($ A^2 + B^2 \neq 0 $). Nếu $d$ qua $M_0(x_0; y_0)$, thì $ A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0 $.
- Phương trình đoạn chắn: $d$ cắt Ox tại $A(a;0)$ và Oy tại $B(0;b)$ ($a, b \neq 0$): $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $.
- Hệ số góc: $ d: y = kx + m $. $k$ là hệ số góc. $ k = \tan \alpha $ ($\alpha$ là góc tạo bởi $d$ và chiều dương Ox). Nếu VTCP $ \vec{u}(u_1; u_2), u_1 \neq 0 $ thì $ k = u_2/u_1 $. Nếu VTPT $ \vec{n}(A; B), B \neq 0 $ thì $ k = -A/B $.
- Vị trí tương đối 2 đường thẳng: $ d_1: A_1x+B_1y+C_1=0 $, $ d_2: A_2x+B_2y+C_2=0 $.
- Cắt nhau: $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $ (nếu $A_2, B_2, C_2 \neq 0$).
- Song song: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $ (nếu $A_2, B_2, C_2 \neq 0$).
- Trùng nhau: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $ (nếu $A_2, B_2, C_2 \neq 0$).
- Góc giữa 2 đường thẳng: $ \cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2}} $.
- Khoảng cách từ điểm $ M(x_0; y_0) $ đến $ \Delta: Ax + By + C = 0 $: $$ d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$
5. Phương trình đường tròn trong mặt phẳng Oxy
- Dạng chính tắc: Tâm $I(a; b)$, bán kính $R$: $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $.
- Dạng tổng quát: $ x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0 $. Điều kiện là đường tròn: $ a^2 + b^2 - c > 0 $. Tâm $I(-a; -b)$, bán kính $ R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} $.
- Phương trình tiếp tuyến tại $ M_0(x_0; y_0) \in (C) $: $ (x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0 $ (với tâm $I(a; b)$).
6. Ba đường Conic
- Elip (E):
- PT chính tắc: $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ ($ a > b > 0 $).
- $ c^2 = a^2 - b^2 $. Tiêu điểm $ F_1(-c; 0), F_2(c; 0) $.
- Đỉnh: $ A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(0; -b), B_2(0; b) $.
- Trục lớn $2a$, trục nhỏ $2b$. Tiêu cự $2c$. Tâm sai $ e = c/a < 1 $.
- Tính chất: $ M \in (E) \Leftrightarrow MF_1 + MF_2 = 2a $.
- Hypebol (H):
- PT chính tắc: $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ ($ a, b > 0 $).
- $ c^2 = a^2 + b^2 $. Tiêu điểm $ F_1(-c; 0), F_2(c; 0) $.
- Đỉnh: $ A_1(-a; 0), A_2(a; 0) $.
- Trục thực $2a$, trục ảo $2b$. Tiêu cự $2c$. Tâm sai $ e = c/a > 1 $.
- Tính chất: $ M \in (H) \Leftrightarrow |MF_1 - MF_2| = 2a $.
- Parabol (P):
- PT chính tắc: $ y^2 = 2px $ ($ p > 0 $).
- Tiêu điểm $ F(p/2; 0) $. Đường chuẩn $ \Delta: x = -p/2 $.
- Đỉnh O(0;0).
Phần III: Thống kê và Xác suất
1. Thống kê mô tả
- Bảng phân bố tần số, tần suất. Biểu đồ.
- Số trung bình cộng: $ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i $.
- Số trung vị (Median $M_e$): Giá trị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 2 phần bằng nhau.
- Mốt (Mode $M_o$): Giá trị có tần số lớn nhất.
- Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$): Chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau ($Q_2 = M_e$).
- Khoảng biến thiên: $ R = \text{Max} - \text{Min} $.
- Khoảng tứ phân vị: $ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 $. (Dùng để xác định giá trị ngoại lệ/bất thường).
- Phương sai: $ s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = (\frac{1}{N} \sum n_i x_i^2) - (\bar{x})^2 $.
- Độ lệch chuẩn: $ s = \sqrt{s^2} $.
2. Tổ hợp
- Quy tắc cộng: Công việc A có 2 phương án: PA1 có $m$ cách, PA2 có $n$ cách (không trùng). Số cách thực hiện A là $m+n$.
- Quy tắc nhân: Công việc A gồm 2 công đoạn: CĐ1 có $m$ cách, CĐ2 có $n$ cách. Số cách thực hiện A là $m \times n$.
- Hoán vị: Sắp xếp $n$ phần tử. $ P_n = n! $.
- Chỉnh hợp: Chọn $k$ phần tử từ $n$ và sắp xếp. $ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} $.
- Tổ hợp: Chọn $k$ phần tử từ $n$ (không xếp). $ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $.
- Tính chất tổ hợp: $ C_n^k = C_n^{n-k} $, $ C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1} $ (Pascal).
3. Nhị thức Newton
- Công thức: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \dots + C_n^n b^n $$
- Số hạng tổng quát (thứ $k+1$): $ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k $.
- Tính chất: Có $n+1$ số hạng. Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng là $n$. $ C_n^0 = C_n^n = 1 $, $ C_n^1 = C_n^{n-1} = n $. Tổng các hệ số: $ C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n $.
4. Xác suất
- Phép thử, không gian mẫu $ \Omega $: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra. $ n(\Omega) $ là số phần tử.
- Biến cố A: Tập con của $ \Omega $. $ n(A) $ là số kết quả thuận lợi cho A.
- Xác suất (cổ điển): $ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} $.
- Tính chất: $ 0 \le P(A) \le 1 $. $ P(\Omega) = 1 $. $ P(\emptyset) = 0 $.
- Biến cố đối $ \bar{A} $: $ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $.
- Biến cố hợp (A hoặc B): $ A \cup B $.
- Biến cố giao (A và B): $ A \cap B $ (hoặc $AB$).
- Biến cố xung khắc: $ A \cap B = \emptyset $. Quy tắc cộng: $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $.
- Biến cố độc lập: Việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của B. Quy tắc nhân: $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $.
Chúc bạn ôn tập và thi tốt! Tài liệu được biên soạn bởi đội ngũ TTKT.