Toán 12: Lý thuyết - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 1. Sơ đồ bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

    • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;

    • Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x) ;

    • Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;

    • Bước 4. Tính giới hạn  và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

    • Bước 5. Lập bảng biến thiên;

    • Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);

    • Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, ...);

    • Bước 8. Vẽ đồ thị.

2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y= ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

    - Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến   (ab - bc ≠ 0)

5. Biến đổi đồ thị

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Khi đó, với số a > 0 ta có:

    • Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x) - a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x - a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

    • Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Ox.

    • Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Oy.

    • Hàm số có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.

    - Hàm số   có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số (C'): y = |x|3 - 3x2 + 2 từ đồ thị (C): y = x3 - 2x2 + 2 (C):

    Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.

Lời giải:

    • Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía bên phải trục Oy bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc bên phải Oy, và bỏ phần đường đứt khúc bên trái Oy.

    • Bước 2: lấy đối xứng qua Oy phần đường mới tô đậm, ta được đồ thị (C').

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số (C'): y = |x3 - 3x2 + 2| từ đồ thị (C): y = x3 - 3x2 + 2.

    Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.

Lời giải:

    • Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía trên trục Ox bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc phía trên Ox.

    • Bước 2: lấy đối xứng qua Ox phần đường đứt khúc nằm dưới Ox qua Ox rồi xóa phần đường đứt khúc nằm dưới Ox, ta được đồ thị (C').