I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• \((u_1 \pm u_2 \pm ... \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm ... \pm u_n'.\)
• \((k.u(x))' = k.u'(x).\)
• \((uv)' = u'v + uv'.\)
• \((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.\)
• \((u^n(x))' = n u^{n - 1}(x).u'(x).\)
• \(\left( \frac{c}{u(x)} \right)' = - \frac{c.u'(x)}{u^2(x)}.\)
• \(\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{v^2(x)}.\)
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x).\) Khi đó: \(y'_x = y'_u.u'_x.\)
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \((c)' = 0\) | |
| \((x)' = 1\) | |
| \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}\) | \(\left( u^\alpha \right)' = \alpha u^{\alpha - 1}.u'\) |
| \(\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(\left( \sqrt{u} \right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(\left( \sqrt[n]{x} \right)' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n - 1}}}\) | \(\left( \sqrt[n]{u} \right)' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n - 1}}}\) |
| \((\sin x)' = \cos x\) | \((\sin u)' = u'.\cos u\) |
| \((\cos x)' = - \sin x\) | \((\cos u)' = - u'\sin u\) |
| \((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\left( \tan u \right)' = \frac{u'}{\cos^2 u}\) |
| \((\cot x)' = - \frac{1}{\sin^2 x}\) | \(\left( \cot u \right)' = - \frac{u'}{\sin^2 u}\) |
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1.\)
b. \(y = - x^3 + 3x + 1.\)
c. \(y = \frac{x^4}{4} - x^2 + 1.\)
d. \(y = - 2x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 1.\)
e. \(y = \frac{2x + 1}{x - 3}.\)
f. \(y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x + 1}.\)
a. \(y' = \left( x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \right)' = 3x^2 - 6x + 2.\)
b. \(y' = \left( - x^3 + 3x + 1 \right)' = - 3x^2 + 3.\)
c. \(y' = \left( \frac{x^4}{4} - x^2 + 1 \right)' = x^3 - 2x.\)
d. \(y' = \left( - 2x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 1 \right)' = - 8x^3 + 3x.\)
e. \(y' = \frac{(2x + 1)'(x - 3) - (x - 3)'(2x + 1)}{(x - 3)^2} = \frac{- 7}{(x - 3)^2}.\)
f. \(y' = \frac{(x^2 - 2x + 2)'(x + 1) - (x^2 - 2x + 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 4}{\left( x + 1 \right)^2}.\)
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = \left( x^7 + x \right)^2.\)
b. \(y = \left( x^2 + 1 \right)\left( 5 - 3x^2 \right).\)
c. \(y = x^2\left( 2x + 1 \right)\left( 5x - 3 \right).\)
d. \(y = \left( 4x + \frac{5}{x^2} \right)^3.\)
e. \(y = (x + 2)^3(x + 3)^2.\)
a. \(y' = 2(x^7 + x)(x^7 + x)' = 2(x^7 + x)(7x^6 + 1).\)
b. Ta có: \(y = \left( x^2 + 1 \right)\left( 5 - 3x^2 \right) = - 3x^4 + 2x^2 + 5 \Rightarrow y' = - 12x^3 + 4x.\)
c. Ta có: \(y = x^2\left( 2x + 1 \right)\left( 5x - 3 \right) = 10x^4 - x^3 - 3x^2 \Rightarrow y' = 40x^3 - 3x^2 - 6x.\)
d. \(y' = 3\left( 4x + \frac{5}{x^2} \right)^2\left( 4x + \frac{5}{x^2} \right)' = 3\left( 4x + \frac{5}{x^2} \right)^2\left( 4 - \frac{10}{x^3} \right).\)
e. \(y' = 3(x^2 + 5x + 6)^2 + 2(x + 3)(x + 2)^3.\)
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(f'(x) \ge 0\), biết:
a. \(f(x) = x\sqrt{4 - x^2}.\)
b. \(f(x) = x - 2\sqrt{x^2 + 12}.\)
c. \(f(x) = \sqrt[4]{x^2 + 1} - \sqrt{x}.\)
a. Tập xác định: \(D = \left[ - 2;2 \right].\)
Ta có: \(f'(x) = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}.\)
Do đó: \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow 4 - 2x^2 \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2.\)
b. Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(f'(x) = 1 - \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 12}} = \frac{\sqrt{x^2 + 12} - 2x}{\sqrt{x^2 + 12}}.\)
Suy ra: \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 12} \ge 2x\) \((1).\)
• Với \(x < 0\) thì \((1)\) luôn đúng.
• Với \(x \ge 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x^2 + 12 \ge 4x^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy bất phương trình \(f'(x) \ge 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(x \le 2.\)
c. Tập xác định: \(D = \left[ 0; + \infty \right).\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2 + 1)^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}.\)
\(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x\sqrt{x} \ge \sqrt[4]{(x^2 + 1)^3} \Leftrightarrow x^6 \ge (x^2 + 1)^3 \Leftrightarrow x^2 \ge x^2 + 1\), bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = \sqrt{2x^2 + 3x + 1}.\)
b. \(y = \sqrt[5]{\sqrt{2x^2 + 1} + 3x + 2}.\)
c. \(y = \sqrt{2\sin^2(2x - 1) + \cos\sqrt{x}}.\)
d. \(y = \tan(\sin^2 3x) + \sqrt{\cot^2(1 - 2x^3) + 3}.\)
e. \(y = \sqrt[3]{\sin(\tan x) + \cos(\cot x)}.\)
a. \(y' = \frac{(2x^2 + 3x + 1)'}{2\sqrt{2x^2 + 3x + 1}} = \frac{4x + 3}{2\sqrt{2x^2 + 3x + 1}}.\)
b. \(y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{(\sqrt{2x^2 + 1} + 3x + 2)^4}}(\sqrt{2x^2 + 1} + 3x + 2)' = \frac{1}{5\sqrt[5]{(\sqrt{2x^2 + 1} + 3x + 2)^4}}\left( \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}} + 3 \right).\)
c. \(y' = \frac{(2\sin^2(2x - 1) + \cos\sqrt{x})'}{2\sqrt{2\sin^2(2x - 1) + \cos\sqrt{x}}} = \frac{2\sin(4x - 2) - \frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{2\sin^2(2x - 1) + \cos\sqrt{x}}} = \frac{4\sqrt{x}\sin(4x - 2) - \sin\sqrt{x}}{4\sqrt{2x\sin^2(2x - 1) + x\cos\sqrt{x}}}.\)
d. \(y' = [1 + \tan^2(\sin^2 3x)](\sin^2 3x)' + \frac{[\cot^2(1 - 2x^3) + 3]'}{2\sqrt{\cot^2(1 - 2x^3) + 3}} = 3[1 + \tan^2(\sin^2 3x)]\sin 6x + \frac{6x^2[1 + \cot^2(1 - 2x^3)]\cot(1 - 2x^3)}{\sqrt{\cot^2(1 - 2x^3) + 3}}.\)
e. \(y' = \frac{[\sin(\tan x) + \cos(\cot x)]'}{3\sqrt{([\sin(\tan x) + \cos(\cot x)])^2}} = \frac{(1 + \tan^2 x)\cos(\tan x) + (1 + \cot^2 x)\sin(\cot x)}{3\sqrt{([\sin(\tan x) + \cos(\cot x)])^2}}.\)
Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3x + 1 \:khi\: x > 1\\ 2x + 2 \:khi\: x \le 1 \end{array} \right.\)
b. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^2\cos\frac{1}{2x} \:khi\: x \ne 0\\ 0 \:khi\: x = 0 \end{array} \right.\)
a.
• Với \(x > 1 \Rightarrow f(x) = x^2 - 3x + 1 \Rightarrow f'(x) = 2x - 3.\)
• Với \(x < 1 \Rightarrow f(x) = 2x + 2 \Rightarrow f'(x) = 2.\)
• Với \(x = 1\), ta có: \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} f(x) = \mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} \left( x^2 - 3x + 1 \right) = - 1 \ne f(1) \Rightarrow\) hàm số không liên tục tại \(x = 1\), suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3 \:khi\: x > 1\\ 2 \:khi\: x < 1 \end{array} \right.\)
b.
• Với \(x \ne 0 \Rightarrow f(x) = x^2\cos\frac{1}{2x} \Rightarrow f'(x) = 2x\cos\frac{1}{2x} - \frac{1}{2}\cos\frac{1}{2x}.\)
• Với \(x = 0\), ta có: \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} x\cos\frac{1}{2x} = 0 \Rightarrow f'(0) = 0.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l} \left( 2x - \frac{1}{2} \right)\cos\frac{1}{2x} \:khi\: x \ne 0\\ 0 \:khi\: x = 0 \end{array} \right.\)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc \(x.\)
a. \(y = \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x.\)
b. \(y = \cos^2\left( \frac{\pi}{3} - x \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \cos^2\left( \frac{2\pi}{3} - x \right) + \cos^2\left( \frac{2\pi}{3} + x \right) - 2\sin^2 x.\)
a. Ta có: \(y = \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x = \left( \sin^2 x \right)^3 + \left( \cos^2 x \right)^3 + 3\sin^2 x\cos^2 x\left( \sin^2 x + \cos^2 x \right) = \left( \sin^2 x + \cos^2 x \right)^3 = 1.\) Suy ra: \(y' = 0.\)
b. Ta có: \(y = 2 + \frac{1}{2}[\cos\left( \frac{2\pi}{3} - 2x \right) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} + 2x \right) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} - 2x \right) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} + 2x \right)] - 2\sin^2 x = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(- \cos 2x - \cos 2x) - 2\sin^2 x = 1.\) Suy ra: \(y' = 0.\)
Ví dụ 7. Tìm \(a,b\) để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^2 - x + 1 \:khi\: x \le 1\\ - x^2 + ax + b \:khi\: x > 1 \end{array} \right.\) có đạo hàm trên \(R.\)
Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R\) khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Ta có: \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1\), \(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} f(x) = a + b - 1.\)
Hàm số liên tục trên \(R \Leftrightarrow a + b - 1 = 1 \Leftrightarrow a + b = 2.\)
Khi đó:
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = 1.\)
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+} \frac{- x^2 + ax + 1 - a}{x - 1} = a - 2.\)
Nên hàm số có đạo hàm trên \(R\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ a - 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = - 1 \end{array} \right.\)
Ví dụ 8. Tìm \(m\) để các hàm số:
a. \(y = (m - 1)x^3 - 3(m + 2)x^2 - 6(m + 2)x + 1\) có \(y' \ge 0\), \(\forall x \in R.\)
b. \(y = \frac{mx^3}{3} - mx^2 + (3m - 1)x + 1\) có \(y' \le 0\), \(\forall x \in R.\)
a. Ta có: \(y' = 3\left[ (m - 1)x^2 - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \right].\)
Do đó: \(y' \ge 0 \Leftrightarrow (m - 1)x^2 - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \ge 0\) \((1).\)
• Với \(m = 1\) thì \((1) \Leftrightarrow - 6x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1.\)
• Với \(m \ne 1\) thì \((1)\) đúng với mọi \(x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = m - 1 > 0\\ \Delta' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ (m + 1)(4 - m) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4.\)
Vậy \(m \ge 4.\)
b. Ta có: \(y' = mx^2 - 2mx + 3m - 1.\)
Nên \(y' \le 0 \Leftrightarrow mx^2 - 2mx + 3m - 1 \le 0\) \((2).\)
• Với \(m = 0\) thì \((2)\) trở thành: \(- 1 \le 0\) (luôn đúng).
• Với \(m \ne 0\) khi đó \((2)\) đúng với mọi \(x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = m < 0\\ \Delta' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ m(1 - 2m) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ 1 - 2m \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0.\)
Vậy \(m \le 0.\)
