 |
| Hình minh hoạ: Đồ thị x = y^2 + 5^-3 |
1. CHƯƠNG VI: MŨ VÀ LOGARIT (Đại số)
a. Công thức Lũy thừa (Chỉ áp dụng khi cơ số \(a > 0\)):
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) (Rất hay dùng để làm bài rút gọn P)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) và \(a^0 = 1\)
b. Công thức Logarit (Điều kiện: Cơ số \(a>0, a \neq 1\) và biểu thức trong log phải \(>0\)):
\(\log_a(1) = 0\) ; \(\log_a(a) = 1\)
\(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\) (Tích \(\rightarrow\) Tổng)
\(\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y\) (Thương \(\rightarrow\) Hiệu)
\(\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x\) (Đưa mũ ở trên ra ngoài giữ nguyên)
\(\log_{a^m}(x) = \frac{1}{m} \cdot \log_a x\) (Đưa mũ ở dưới ra ngoài phải nghịch đảo)
\(a^{\log_a b} = b\)
Đổi cơ số: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) hoặc \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)
c. Hàm số Mũ (\(y = a^x\)) và Logarit (\(y = \log_a x\)):
Tập xác định:
Mũ \(y = a^x\): \(D = \mathbb{R}\)
Logarit \(y = \log_a f(x)\): Yêu cầu \(f(x) > 0\). (Đề rất hay hỏi dạng tìm tập xác định nguyên, nhớ giải bất phương trình > 0).
Tính đồng biến/nghịch biến (Từ khóa ăn điểm trắc nghiệm):
Cơ số \(a > 1\): Hàm số Đồng biến (Cùng chiều: \(a^x > a^y \Leftrightarrow x > y\)).
Cơ số \(0 < a < 1\): Hàm số Nghịch biến (Ngược chiều: \(a^x > a^y \Leftrightarrow x < y\)). Cẩn thận cái này dễ sai ngu!
NÉ BẪY SAI NGU
BẪY TỬ THẦN SỐ 1: CƠ SỐ \(a\) CỦA HÀM MŨ/LOGARIT
Đề hỏi đồng biến/nghịch biến hoặc giải bất phương trình, NHÌN NGAY CƠ SỐ:
Cơ số \(a > 1\) (ví dụ: \(2, e, 3, \pi\)): CÙNG CHIỀU. (VD: \(2^x > 2^y \Rightarrow x > y\)).
Cơ số \(0 < a < 1\) (ví dụ: \(0.5, \frac{1}{3}, \frac{\pi}{4}\)): ĐỔI CHIỀU. (VD: \((0.5)^x > (0.5)^3 \Rightarrow \mathbf{x < 3}\)). Quên đổi chiều là nộp bài luôn!
BẪY TỬ THẦN SỐ 2: ĐIỀU KIỆN CỦA LOGARIT
Gặp \(\log_a f(x)\), việc đầu tiên phải làm: Cho \(f(x) > 0\).
Lưu ý đề Trắc nghiệm Đúng/Sai: Nó cho phương trình giải ra 2 nghiệm, phán "Tổng các nghiệm bằng...", em bấm máy ra tổng nhưng quên loại 1 nghiệm vi phạm điều kiện là ăn zero ngay ý đó.
MẸO CASIO TRONG 5 GIÂY:
Bài rút gọn biểu thức \(P\): Cho \(x = 2\) (hoặc \(a=2, b=3\)), bấm thẳng biểu thức đề bài \(\rightarrow\) ra số thập phân. Bấm 4 đáp án A, B, C, D xem cái nào trùng thì khoanh. KHÔNG GIẢI TAY.
Bài đếm số nghiệm nguyên tập xác định: Dùng MENU 8 (Table). Nhập hàm \(f(x)\) vào (bỏ chữ log đi, chỉ nhập cái lõi). Start -10, End 10, Step 1. Đếm xem có bao nhiêu giá trị \(f(x) > 0\) thì đó là số nguyên cần tìm.
BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI "KINH ĐIỂN" (Chắc chắn có):
Đề: Cho \(x^2 + y^2 = 14xy\). Tìm \(\log(x+y)\).
Cách giải hệ thống (Tự luận):
1. Cộng \(2xy\) vào 2 vế \(\Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 16xy\).
2. \(\Rightarrow (x+y)^2 = 16xy\).
3. Lấy \(\log\) cơ số tương ứng 2 vế. Hạ số 2 ở mũ xuống, tách \(\log(16xy) = \log 16 + \log x + \log y\). Xong!
2. CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Hình không gian)
Chứng minh đường \(\perp\) mặt (\(d \perp (P)\)): Chứng minh \(d\) vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).
Chứng minh mặt \(\perp\) mặt (\((P) \perp (Q)\)): Chỉ cần tìm ra 1 đường thẳng nằm trong \((P)\) mà vuông góc với \((Q)\).
Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\):
Bước 1: Tìm giao điểm \(O\) của \(d\) và \((P)\).
Bước 2: Lấy điểm \(A\) trên \(d\), dựng \(AH \perp (P)\) (H là hình chiếu).
Bước 3: Góc cần tìm là \(\widehat{AOH}\).
Góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\):
Tìm giao tuyến \(\Delta\).
Tìm 2 đường thẳng \(a \subset (P)\) và \(b \subset (Q)\) cùng vuông góc với \(\Delta\) tại một điểm.
Góc giữa \((P)\) và \((Q)\) là góc giữa \(a\) và \(b\).
NÉ BẪY SAI NGU
Đề trường em 90% sẽ ra dạng: Chóp S.ABCD có đáy là Hình Vuông/Hình Chữ Nhật/Hình Thoi, đường cao \(SA \perp Đáy\).
Bộ khung "vô đối" - Học thuộc ngay:
1. Chứng minh \(BC \perp (SAB)\) hoặc \((SBC) \perp (SAB)\):
Ta có \(BC \perp AB\) (Đáy là HCN/HV).
Lại có \(BC \perp SA\) (Vì \(SA \perp (ABCD)\)).
Mà \(AB, SA \subset (SAB)\) cắt nhau tại A.
\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\).
(Nếu hỏi mặt \(\perp\) mặt): Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)\).
2. Chứng minh \(BD \perp (SAC)\) (CHỈ DÙNG khi đáy là Hình Vuông / Hình Thoi):
Ta có \(BD \perp AC\) (Tính chất 2 đường chéo HV/Hình thoi).
Lại có \(BD \perp SA\) (Vì \(SA \perp (ABCD)\)).
\(\Rightarrow BD \perp (SAC)\).
3. Xác định GÓC GIỮA 2 MẶT PHẲNG (Ví dụ: \((SCD)\) và \((ABCD)\)):
Bước 1 (Giao tuyến): \((SCD) \cap (ABCD) = CD\).
Bước 2 (Đường \(\perp\) Giao tuyến ở đáy): Từ chân đường cao \(A\), kẻ đường \(\perp CD\) (Chính là điểm \(D\) vì đáy là HCN/HV \(\Rightarrow AD \perp CD\)).
Bước 3 (Chốt góc): Nối \(S\) xuống \(D\). Góc cần tìm là \(\widehat{SDA}\). Điểm tuyệt đối!
PHẦN 2: NHỮNG CÁI "KHÔNG CÓ TRONG SÁCH" HAY HỎI (BÍ KÍP)
Trong đề cương của em có vài bài toán thực tế và mẹo hình học nhìn lạ nhưng rất dễ nếu biết công thức:
1. Hình chiếu vuông góc diện tích (Cái Lều/Mái nhà):
Công thức VÀNG: \(S_{hinh\_chieu} = S_{ban\_dau} \cdot \cos \varphi\)
(Trong đó \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng).
Ví dụ Đề 4/Câu 12: Diện tích hình chiếu của \(\Delta ABB'\) lên \((BB'C'C)\). Ta có \((ABB')\) và \((BB'C'C)\) tạo với nhau một góc \(\varphi\). Tính \(S_{ABB'}\) rồi nhân với \(\cos \varphi\). Hoặc đơn giản hơn, chiếu từng điểm A lên (BCC'B') ra điểm H, tam giác thu được là HBB'. Tính diện tích HBB' là xong.
2. Bài toán Tăng trưởng Dân số / Vi khuẩn:
Công thức: \(S = A \cdot e^{rt}\) hoặc \(S(t) = S(0) \cdot 2^t\)
\(A\) (hoặc \(S_0\)): Số lượng ban đầu.
\(r\): Tỉ lệ tăng trưởng (đổi % ra số thập phân).
\(t\): Thời gian.
Cách bấm máy: Lập phương trình \(S = A \cdot e^{rt} \Rightarrow e^{rt} = \frac{S}{A} \Rightarrow rt = \ln(\frac{S}{A}) \Rightarrow t = \frac{\ln(S/A)}{r}\).
3. Bài toán Độ pH (Hóa học):
Công thức: \(pH = -\log[H^+] \Rightarrow [H^+] = 10^{-pH}\)
Nếu đề hỏi: pH = 2.4 gấp bao nhiêu lần pH = 3.5 về nồng độ acid?
Em lấy: \(\frac{[H^+]_1}{[H^+]_2} = \frac{10^{-2.4}}{10^{-3.5}} = 10^{3.5 - 2.4} = 10^{1.1} \approx 12.5\) lần.
4. Bài toán Phân rã phóng xạ:
Công thức: \(m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\) (\(T\) là chu kì bán rã). Chỉ việc thay số bấm máy!
5. Mẹo Biến đổi Hằng đẳng thức Logarit:
Đề cho: \(x^2 + y^2 = 14xy\). Yêu cầu tính \(\log(x+y)\).
Hướng làm: Cộng \(2xy\) vào 2 vế \(\Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 16xy \Rightarrow (x+y)^2 = 16xy\). Lấy logarit 2 vế rồi hạ mũ xuống là ra.
6. Bài toán Lãi suất
Công thức: \(S = A \cdot e^{rt}\) (Hoặc \(S = S_0 \cdot 2^{t/T}\) tuỳ đề cho)
Cách làm:
Đề bảo: Ban đầu có \(A\), sau \(t_1\) giờ có \(S_1\). Cần tính thời gian \(t_2\) để có \(S_2\).
Bước 1: Tính \(r = \frac{\ln(S_1/A)}{t_1}\). (Gắn nguyên cục này vào máy tính).
Bước 2: Ráp vào tìm \(t_2\): \(t_2 = \frac{\ln(S_2/A)}{r}\). Bấm `SHIFT SOLVE` hoặc chia tay là xong.
6. Máng Nước (Đề 3 - Trắc nghiệm ngắn):
Cắt hình thang cân, các cạnh bằng 20cm. Tìm góc \(\varphi\) để diện tích lớn nhất.
Tinh hoa giải nhanh: Một hình thang cân có 3 cạnh bằng nhau sẽ đạt diện tích lớn nhất khi nó là MỘT NỬA HÌNH LỤC GIÁC ĐỀU.
Chốt đáp án: Góc \(\varphi\) ở đáy phải bằng \(60^\circ\). (Nhớ luôn con số này nếu gặp lại!).
PHẦN 3: HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY TỰ LUẬN ĂN TRỌN ĐIỂM
Giáo viên chấm tự luận rất chú ý đến Điều kiện và Lập luận.
Dạng 1: Giải phương trình Mũ/Logarit
Ví dụ: \(\log_2(x^2-1) = \log_2(3x-3)\)
Bước 1: TÌM ĐIỀU KIỆN (Quên là mất 0.25đ ngay).
ĐK: \(\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ 3x - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1\).
Bước 2: Giải.
PT \(\Leftrightarrow x^2 - 1 = 3x - 3 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\).
Bước 3: Kết luận.
Bấm máy ra \(x=1\) và \(x=2\).
Đối chiếu ĐK: \(x=1\) (Loại vì ĐK là \(x>1\)), \(x=2\) (Thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm \(S = \{2\}\).
Dạng 2: Bài toán thực tế (Vi khuẩn/Dân số)
Bước 1: Gọi công thức: "Gọi số lượng vi khuẩn sau t giờ là \(S(t) = S_0 \cdot e^{rt}\)".
Bước 2: Tìm hằng số (thường là tìm \(r\)): "Sau 5 giờ (t=5), có 1500 con, ban đầu có 500 con \(\Rightarrow 1500 = 500 \cdot e^{r \cdot 5} \Rightarrow e^{5r} = 3 \Rightarrow r = \frac{\ln 3}{5}\)".
Bước 3: Giải yêu cầu đề bài: "Để đạt 121500 con \(\Rightarrow 121500 = 500 \cdot e^{r \cdot t}\). Giải ra \(t\)."
Dạng 3: Hình không gian - Chứng minh Vuông góc
(Cứ form này mà viết, không trật đi đâu được)
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, \(SA \perp (ABCD)\). Chứng minh \((SBC) \perp (SAB)\) hoặc \(BC \perp (SAB)\).
Trình bày:
Ta có: \(BC \perp AB\) (Do ABCD là hình chữ nhật) (1)
Lại có: \(SA \perp (ABCD)\) mà \(BC \subset (ABCD) \Rightarrow SA \perp BC\) (2)
Từ (1) và (2), mặt khác \(AB \cap SA = A\) cùng nằm trong \((SAB)\)
\(\Rightarrow BC \perp (SAB)\).
(Nếu đề bắt C/m mặt \(\perp\) mặt thì thêm dòng này): Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)\). (Đpcm).
