ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2025 – 2026
MÔN: TOÁN – KHỐI: 11
Họ tên học sinh: ........................................................................Lớp: 11.........
A. KIẾN THỨC ÔN TẬP.
I. CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1/ Bài 1. Phép tính luỹ thừa.
2/ Bài 2. Phép tính lôgarit.
3/ Bài 3. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit.
4/ Bài 4. Phương trình mũ và lôgarit.
II. CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1/ Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc.
2/ Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3/ Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc.
B. ĐỀ ÔN TẬP.
ĐỀ 1
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{x} \) với \( x > 0 \).
A. \( P = \sqrt{x} \).
B. \( P = x^{\frac{1}{8}} \).
C. \( P = x^{\frac{2}{9}} \).
D. \( P = x^2 \).
Câu 2: Phương trình \( \log_{2017} x + \log_{2016} x = 0 \) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 3: Cho \( 4^x + 4^{-x} = 7 \). Biểu thức \( P = \frac{5 + 2^x + 2^{-x}}{8 - 4 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^{-x}} \) có giá trị bằng
A. \( P = \frac{3}{2} \).
B. \( P = -\frac{5}{2} \).
C. \( P = 2 \).
D. \( P = -2 \).
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. \( (\sqrt{3}-1)^{2018} > (\sqrt{3}-1)^{2017} \).
B. \( 2^{\sqrt{2}+1} > 2^{\sqrt{3}} \).
C. \( (\sqrt{2}-1)^{2017} > (\sqrt{2}-1)^{2018} \).
D. \( \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2019} < \left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2018} \).
Câu 5: Biết rằng \( 10^\alpha = 2 \); \( 10^\beta = 5 \). Tính \( 10^{\alpha+\beta} + 10^{\alpha-\beta} \).
A. 10.
B. \( \frac{52}{5} \).
C. \( \frac{2}{5} \).
D. \( \frac{5}{52} \).
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_3(x+3) \).
A. \( D = (0; +\infty) \).
B. \( D = [-3; +\infty) \).
C. \( D = (-3; +\infty) \).
D. \( D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \).
Câu 7: Tập xác định của hàm số \( f(x) = \log_5(30-x^2) \) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 11.
B. 5.
C. 6.
D. 10.
Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Câu 9: Cho tứ diện OABC có \( OA, OB, OC \) đôi một vuông góc và \( OB = OC = a\sqrt{6} \), \( OA = a \). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \( (ABC) \) và \( (OBC) \) bằng
A. \( 90^\circ \).
B. \( 60^\circ \).
C. \( 45^\circ \).
D. \( 30^\circ \).
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều \( S.ABCD \) có cạnh đáy bằng \( a\sqrt{3} \), đường cao bằng \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. \( 30^\circ \).
B. \( 45^\circ \).
C. \( 60^\circ \).
D. \( 75^\circ \).
Câu 11: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình thoi tâm O và \( SA = SC, SB = SD \). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. \( AC \perp SD \).
B. \( BD \perp AC \).
C. \( BD \perp SA \).
D. \( AC \perp SA \).
Câu 12: Cho tứ diện \( ABCD \) có hai mặt \( ABC \) và \( ABD \) là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của \( AB \). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \( CM \perp (ABD) \).
B. \( AB \perp (MCD) \).
C. \( AB \perp (BCD) \).
D. \( DM \perp (ABC) \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho hàm số \( y = \log_4 x \).
a) Hàm số có tập xác định \( D = \mathbb{R} \).
b) Hàm số có tập giá trị \( T = \mathbb{R} \).
c) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \).
d) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \( y = 1 \) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Câu 14: Cho phương trình \( 3^{6x+27} = \left(\frac{1}{27}\right)^{x^2+3x-3} \) (1) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) (\( x_1 < x_2 \)).
a) Phương trình \( (1) \Leftrightarrow 3^{6x+27} = 3^{-3x^2-9x+9} \).
b) Phương trình (1) có một nghiệm \( x_1 = -3 \).
c) Tích hai nghiệm của phương trình (1) là \( x_1x_2 = 6 \).
d) Phương trình \( 3^{6x+27} = \left(\frac{1}{27}\right)^{x^2+3x+m} \) có 2 nghiệm trái dấu khi \( m < -9 \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \( s(t) = s(0) \cdot 2^t \), trong đó \( s(0) \) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, \( s(t) \) là số lượng vi khuẩn A có sau \( t \) phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao nhiêu phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
Câu 16: Tìm nghiệm phương trình \( \sqrt{2} \cdot 2^{3x+1} = 8 \).
Câu 17: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \), \( AB = BC = a \); \( AD = 2AB \) và hai mặt bên \( (SAB), (SAD) \) cùng vuông góc với mặt đáy và \( SA = a\sqrt{2} \). Tính tang của góc \( \varphi \) giữa \( (SBC) \) và \( (ABCD) \). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 18: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông cạnh \( a \), \( SC \perp (ABCD) \) và \( SB = 2a \). Tính góc giữa hai đường thẳng \( SA \) và \( DC \). (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Hàm số \( y = \log_a x \) và \( y = \log_b x \) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường thẳng \( y = 3 \) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \( x_1, x_2 \). Biết \( x_2 = 2x_1 \), tính \( \frac{a^3}{b^3} \)?
Câu 20: Cho tứ diện \( ABCD \) có \( ABC \) và \( BCD \) là các tam giác cân tại \( A \) và \( D \). Gọi I là trung điểm của \( BC \). Kẻ \( AH \) là đường cao của tam giác \( ADI \). Chứng minh rằng \( AH \perp (BCD) \).
Câu 21: Dân số nước ta năm 2022 ước tính là 99200000 người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm của nước ta không đổi là \( r = 0,93\% \). Biết rằng sau \( t \) năm, dân số Việt Nam (tính từ mốc năm 2022) ước tính theo công thức \( S = A \cdot e^{rt} \). Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?
ĐỀ 2
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Cho các số thực \( a, m, n \) và \( a > 0 \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
B. \( a^m \cdot a^n = a^{m \cdot n} \).
C. \( a^m + a^n = a^{m+n} \).
D. \( (a^m)^n = a^{m+n} \).
Câu 2: Cho \( a \) là số thực dương. Giá trị của biểu thức \( P = a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a} \) bằng
A. \( a^{\frac{7}{6}} \).
B. \( a^{\frac{5}{6}} \).
C. \( a^5 \).
D. \( a^{\frac{2}{3}} \).
Câu 3: Cho \( \log_2 a = 5, \log_2 b = 3; a, b > 0 \). Giá trị của \( \log_2 (a^2b) \) bằng
A. 12.
B. 31.
C. 35.
D. 13.
Câu 4: Với \( 0 < a \neq 1, M > 0; \alpha \in \mathbb{R} \). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. \( \log_a 1 = a \).
B. \( \log_a b = \alpha \Leftrightarrow b = a^\alpha \).
C. \( \log_a a^\alpha = 1 \).
D. \( a^{\log_a M} = a \).
Câu 5: Cho hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) hình chữ nhật và \( SA \perp (ABCD) \). Đường thẳng \( SA \) không vuông góc với đường thẳng nào?
A. \( AB \).
B. \( AC \).
C. \( BD \).
D. \( SC \).
Câu 6: Cho hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) hình vuông và \( SA \perp (ABCD) \). Đường thẳng \( BD \) vuông góc với mặt phẳng nào?
A. \( (SAC) \).
B. \( (SAB) \).
C. \( (SCD) \).
D. \( (SAD) \).
Câu 7: Hàm số nào sau đây đồng biến trên \( \mathbb{R} \)?
A. \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \).
B. \( y = 3^x \).
C. \( y = (0,5)^x \).
D. \( y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x \).
Câu 8: Hàm số \( y = \log_3(x-2) \) có tập xác định là tập nào sau đây?
A. \( \mathbb{R} \).
B. \( (-2; +\infty) \).
C. \( (0; +\infty) \).
D. \( (2; +\infty) \).
Câu 9: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2-4x} = 9 \) là
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
Câu 10: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau và \( ABCD \) là hình vuông tâm O. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \( SA \perp (ABCD) \).
B. \( SO \perp (ABCD) \).
C. \( AB \perp (SBC) \).
D. \( AC \perp (SBC) \).
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng \( ABCD.A'B'C'D' \) đáy là hình vuông. Đường thẳng \( AC \) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. \( (B'C'D') \).
B. \( (B'CD') \).
C. \( (B'BD') \).
D. \( (B'C'C) \).
Câu 12: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thoi tâm O, \( SO \perp (ABCD) \). Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBD) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. \( (SBC) \).
B. \( (SAC) \).
C. \( (SBD) \).
D. \( (ABCD) \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho biểu thức \( \sqrt[4]{5 \cdot (\sqrt{5} : \sqrt[5]{5})^{10}} \).
a) \( \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{8}} \).
b) \( \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt{5} : \sqrt[5]{5} = 5^{\frac{a}{b}} \) (\( \frac{a}{b} \) là phân số tối giản), khi đó: \( a+b=41 \).
c) \( \sqrt{5 \cdot (\sqrt[4]{5} : \sqrt[5]{5})^{10}} = 5^{\frac{a}{b}} \) (\( \frac{a}{b} \) là phân số tối giản), khi đó: \( a+b=6 \).
d) \( \sqrt[4]{5 \cdot (\sqrt{5} : \sqrt[5]{5})^{10}} = 5^{\frac{a}{b}} \) (\( \frac{a}{b} \) là phân số tối giản), khi đó: \( a+b=12 \).
Câu 14: Cho lăng trụ tam giác đều \( ABC.A'B'C' \).
a) Hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \) có các mặt bên vuông góc hai mặt đáy.
b) Số đo góc giữa hai đường \( A'B' \) và \( CB \) là \( 90^\circ \).
c) Gọi M là trung điểm \( BC \). Số đo góc giữa hai đường \( A'M \) và \( CB \) là \( 90^\circ \).
d) Giả sử H là trung điểm \( A'M \) và \( AM = A'A \). Khi đó \( AH \perp (A'BC) \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Cho số thực \( x \) thỏa mãn \( 9^x + 9^{-x} = 14 \). Tính giá trị biểu thức \( P = \frac{6 + 3(3^x + 3^{-x})}{2 - 3^{x+1} - 3^{1-x}} \).
Câu 16: Gọi \( n \) là số nguyên dương sao cho \( \frac{1}{\log_3 x} + \frac{1}{\log_{3^2} x} + \frac{1}{\log_{3^3} x} + \dots + \frac{1}{\log_{3^n} x} = \frac{210}{\log_3 x} \) đúng với mọi \( x > 0 \). Tính giá trị của biểu thức \( P = 2n + 3 \).
Câu 17: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thang vuông tại A và D, \( SA \perp (ABCD) \), \( AB = 2AD = 2CD \). Các mặt bên của hình chóp có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
Câu 18: Cho hình lăng trụ \( ABC.A'B'C' \) có cạnh bên \( AA' \) vuông góc với đáy. Biết \( AB = AC = 2,4m \); \( BC = 2m; AA' = 3m \). Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \( ABB' \) trên mặt phẳng \( (BB'C'C) \).
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Giải phương trình: \( \log_2(x^2+3x) = 2 \).
Câu 20: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \( S(t) = S_0 \cdot e^{r \cdot t} \). Trong đó \( S_0 \) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \( S(t) \) là số lượng vi khuẩn có sau \( t \) (phút), \( r \) là tỷ lệ tăng trưởng (\( r > 0 \)), \( t \) (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc ban đầu có 500 con để số lượng vi khuẩn đạt 121500 con?
Câu 21: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có \( SA \perp (ABCD) \) và đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng \( (AHK) \perp (SAC) \).
ĐỀ 3
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Với \( a > 0, b > 0, \alpha, \beta \) là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?
A. \( \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta} \).
B. \( a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha+\beta} \).
C. \( \frac{a^\alpha}{b^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha-\beta} \).
D. \( a^\alpha b^\alpha = (ab)^\alpha \).
Câu 2: Rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x} \) với \( x > 0 \).
A. \( P = \sqrt{x} \).
B. \( P = x^{\frac{1}{8}} \).
C. \( P = x^{\frac{2}{9}} \).
D. \( P = x^2 \).
Câu 3: Hàm số nào sau đây đồng biến trên \( \mathbb{R} \)?
A. \( y = \ln x \).
B. \( y = 3^x \).
C. \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \).
D. \( y = \log_{\frac{2}{5}} x \).
Câu 4: Cho \( a \) là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương \( x, y \)?
A. \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \).
B. \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a(x-y) \).
C. \( \log_a \frac{x}{y} = \log_a x + \log_a y \).
D. \( \log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y} \).
Câu 5: Tập xác định của hàm số \( y = \log_6 x \) là
A. \( [0; +\infty) \).
B. \( (0; +\infty) \).
C. \( (-\infty; 0) \).
D. \( (-\infty; +\infty) \).
Câu 6: Giá trị của \( \log_a \sqrt[3]{a} \) (với \( a > 0, a \neq 1 \)), bằng
A. \( -\frac{7}{3} \).
B. \( \frac{1}{3} \).
C. \( \frac{5}{3} \).
D. 4.
Câu 7: Tìm tập nghiệm của phương trình \( 0,4^{x^2+x} = 0,16 \).
A. \( (-2; 1) \).
B. \( \{-2; 1\} \).
C. \( (-\infty; -2) \).
D. \( (1; +\infty) \).
Câu 8: Tập nghiệm của phương trình \( \log_3(3x-1)^2 = 2 \) là
A. \( \{ \frac{4}{3} \} \).
B. \( \{ \frac{4}{3}; -\frac{2}{3} \} \).
C. \( \{ -\frac{2}{3} \} \).
D. \( \{ \frac{10}{3}; -\frac{2}{3} \} \).
Câu 9: Trong không gian cho ba đường thẳng \( a, b \) và \( c \). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu \( a \) và \( b \) vuông góc với nhau thì \( a \) và \( b \) cắt nhau.
B. Nếu \( a \) vuông góc với \( b \), \( b \) song song với \( c \) thì \( a \) vuông góc với \( c \).
C. Nếu \( a \) và \( b \) cùng vuông góc với \( c \) thì \( a \) và \( b \) song song hoặc trùng nhau.
D. Nếu \( a \) vuông góc với \( b \), \( b \) vuông góc với \( c \) thì \( a \) vuông góc với \( c \).
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng \( a, b \) và mặt phẳng \( (P) \). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Nếu \( a \) và \( b \) cùng vuông góc với \( (P) \) thì \( a \) và \( b \) song song với nhau.
B. Nếu \( a \) vuông góc với \( b \) và \( b \) song song với \( (P) \) thì \( a \) vuông góc với \( (P) \).
C. Nếu \( a \) và \( (P) \) cùng vuông góc với \( b \) thì \( a \) song song với \( (P) \).
D. Nếu \( a \) song song với \( b \) và \( b \) vuông góc với \( (P) \) thì \( a \) vuông góc với \( (P) \).
Câu 11: Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \). Góc giữa đường thẳng \( AB \) và \( A'C' \) bằng
A. \( 60^\circ \).
B. \( 90^\circ \).
C. \( 45^\circ \).
D. \( 30^\circ \).
Câu 12: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thoi tâm O. Biết \( SA = SC, SB = SD \). Khẳng định nào đúng?
A. \( AB \perp (SAC) \).
B. \( CD \perp AC \).
C. \( SO \perp (ABCD) \).
D. \( CD \perp (SBD) \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông và \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.
a) Tam giác SAB vuông.
b) \( CD \perp (SAD) \).
c) \( (SCD) \perp (SAD) \).
d) \( AH \perp SC \).
Câu 14: Cho \( a, b, c, m, n \in \mathbb{R} \) với \( a, b, c > 1 \).
a) \( a^{\log_a 8} = 8 \).
b) \( \log_a a^3 = 3 \).
c) \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \).
d) Cho \( \log 3 = m, \log 7 = n \). Khi đó \( \log_3 70 = \frac{n+1}{m} \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Cho số dương \( a \) và số thực \( r \), biết \( \sqrt[3]{a\sqrt{a}} = a^r \). Giá trị của \( r \) bằng bao nhiêu?
Câu 16: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình bình hành và tam giác \( SAD \) vuông cân tại \( S \). Góc giữa hai đường thẳng \( SA \) và \( BC \) bằng bao nhiêu? (Đơn vị độ)
Câu 17: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \ln(x^2-2mx+14m-40) \) có tập xác định là \( \mathbb{R} \)?
Câu 18: Cho hình chóp \( S.ABC \) có \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), đáy \( ABC \) tam giác vuông tại B có \( AB = a, BC = a\sqrt{3} \). Biết \( SA = \frac{a\sqrt{6}}{2} \), tính góc giữa hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SBC) \).
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Giải phương trình \( \log_{\frac{1}{5}} (x^2-1) = \log_{\frac{1}{5}} (3x-3) \).
Câu 20: Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm, thành máng nghiêng với mặt đáy một góc \( \varphi \) (\( 0^\circ < \varphi < 90^\circ \)) (tham khảo hình vẽ). Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc bao nhiêu để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?
Câu 21: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình thang vuông tại A và D, \( AB = 2a, AD = CD = a \). Biết \( SA \perp (ABCD), SA = 3a \). Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \( SBC \) lên mặt phẳng \( (SAB) \).
ĐỀ 4
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Với \( a \) là số thực dương tùy ý, \( \sqrt{a\sqrt[3]{a}} \) bằng:
A. \( a^{\frac{3}{2}} \).
B. \( a^{-\frac{2}{3}} \).
C. \( a^{\frac{2}{3}} \).
D. \( a^{\frac{4}{3}} \).
Câu 2: Với mọi số thực \( a \) dương, \( \log_2 \frac{a^2}{2} \) bằng
A. \( \frac{1}{2} \log_2 a \).
B. \( \log_2 a + 1 \).
C. \( \log_2 a - 1 \).
D. \( 2\log_2 a - 1 \).
Câu 3: Với \( a \) là số thực dương tùy ý, \( \log(100a) \) bằng
A. \( 1 - \log a \).
B. \( 2 + \log a \).
C. \( 2 - \log a \).
D. \( 1 + \log a \).
Câu 4: Tập xác định của hàm số \( y = \log_2(x-1) \) là
A. \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
B. \( [1; +\infty) \).
C. \( (1; +\infty) \).
D. \( (-\infty; 1) \).
Câu 5: Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. \( y = \log_2 x \).
B. \( y = (0,8)^x \).
C. \( y = \log_{0,4} x \).
D. \( y = (\sqrt{2})^x \).
Câu 6: Tìm \( a \) để đồ thị hàm số \( y = \log_a x \) (\( 0 < a \neq 1 \)) có đồ thị là hình bên.
A. \( a = \sqrt{2} \).
B. \( a = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
C. \( a = \frac{1}{2} \).
D. \( a = 2 \).
Câu 7: Nghiệm của phương trình \( 3^{3x+5} = 3^{1-x} \) là
A. \( x = -1 \).
B. \( x = 2 \).
C. \( x = 1 \).
D. \( x = -2 \).
Câu 8: Nghiệm của phương trình \( \log_2(x-1) = 3 \) là
A. \( x = 10 \).
B. \( x = 9 \).
C. \( x = 7 \).
D. \( x = 8 \).
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác \( S.ABCD \) có tất cả các cạnh đều bằng \( a \). Số đo góc giữa hai đường thẳng \( SA \) và \( CD \) bằng
A. \( 30^\circ \).
B. \( 90^\circ \).
C. \( 60^\circ \).
D. \( 45^\circ \).
Câu 10: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng \( (\alpha) \)?
A. 2.
B. Vô số.
C. 0.
D. 1.
Câu 11: Cho hình chóp \( S.ABC \) có \( SA \) vuông góc với mặt đáy \( (ABC) \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \( SA \perp SB \).
B. \( SA \perp SC \).
C. \( SA \perp AB \).
D. \( SB \perp SC \).
Câu 12: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( SB \perp BC \). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A. \( SA \perp (ABCD) \).
B. \( SB \perp (ABCD) \).
C. \( BC \perp (SAC) \).
D. \( BC \perp (SAB) \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho phương trình \( 9^{2x} \cdot 27^{x^2} = \frac{1}{3} \).
a) \( x = 0 \) là một nghiệm của phương trình.
b) \( x = -1 \) không phải là nghiệm của phương trình.
c) \( S = \{1; -1\} \) là tập nghiệm của phương trình.
d) \( (x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{10}{9} \), với \( x_1, x_2 \) là hai nghiệm của phương trình trên.
Câu 14: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình thoi cạnh \( a \). Cho biết \( SA = a\sqrt{3}, SA \perp AB, SA \perp AD \).
a) \( (BC, SA) = 90^\circ \).
b) \( SA \perp CD \).
c) \( BD \perp (SAC) \).
d) \( (SD, BC) = 60^\circ \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Cho \( \log_{12} 3 = a \) khi đó \( \log_{24} 18 = \frac{ma+n}{m-na} \) với \( (m, n) = 1 \). Hãy tính \( m+n \).
Câu 16: Cho tứ diện \( ABCD \) có \( AB \) vuông góc với mặt phẳng \( (BCD) \). Biết tam giác \( BCD \) vuông tại C và \( AB = \frac{a\sqrt{6}}{2}, AC = a\sqrt{2}, CD = a \). Gọi E là trung điểm của AC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CE.
Câu 17: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \( 6^x - 2 \cdot 2^x - 81 \cdot 3^x + 162 = 0 \).
Câu 18: Trong vật lí, sự phân rã các chất phóng xạ được cho bởi công thức: \( m(t) = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \). Trong đó, \( m_0 \) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \( t = 0 \)), \( m(t) \) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \( t \) và \( T \) là chu kì bán rã. Hạt nhân Poloni \( (Po) \) là chất phóng xạ \( \alpha \) có chu kì bán rã 138 ngày. Giả sử lúc đầu có 100 gam Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến phần chục).
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 2000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện ra số lượng vi khuẩn tăng thêm 10% sau mỗi một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày số lượng vi khuẩn nhiều hơn 10000 vi khuẩn? Giả sử không có vi khuẩn chết đi trong suốt quá trình nuôi cấy.
Câu 20: Giải phương trình: \( \log_{\frac{1}{2}}(x^2-1) + \log_2(3x-3) = 0 \).
Câu 21: Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) cạnh \( a \). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng \( (ADC'B') \) và \( (ABCD) \).
ĐỀ 5
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Rút gọn biểu thức \( P = (2-\sqrt{3})^{2017} \cdot (2+\sqrt{3})^{2018} \).
A. \( P = 2+\sqrt{3} \).
B. \( P = 2-\sqrt{3} \).
C. \( P = 1 \).
D. \( P = -2-\sqrt{3} \).
Câu 2: Cho số thực dương \( a \) thỏa mãn \( \left(\frac{1}{a}\right)^{24} > \left(\frac{1}{a}\right)^{23} \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \( a > 1 \).
B. \( a < \frac{1}{2} \).
C. \( 0 < a < 1 \).
D. \( \frac{1}{2} < a < 1 \).
Câu 3: Cho \( a \) và \( b \) là hai số thực dương thỏa mãn \( a^3b^2 = 625 \). Giá trị của \( 3\log_5 a + 2\log_5 b \) bằng
A. 12.
B. 4.
C. 8.
D. 5.
Câu 4: Cho các số thực dương \( a, b, c \) bất kỳ và \( a \neq 1 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( \log_a(bc) = \log_a b \cdot \log_a c \).
B. \( \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c \).
C. \( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \frac{\log_a b}{\log_a c} \).
D. \( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a c - \log_a b \).
Câu 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. \( y = \log_{\sqrt{3}} x \).
B. \( y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x \).
C. \( y = \log_2(\sqrt{x}+1) \).
D. \( y = \log_{\frac{\pi}{4}} x \).
Câu 6: Cho đồ thị hàm số \( y = a^x \) và \( y = \log_b x \) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. \( 0 < a < 1, 0 < b < \frac{1}{2} \).
B. \( 0 < a < 1 < b \).
C. \( 0 < a < \frac{1}{2} < b \).
D. \( 0 < b < 1 < a \).
Câu 7: Phương trình \( \log_3(2x+1) - \log_3(x-1) = 1 \) tương đương với hệ nào sau đây?
A. \( \begin{cases} x > 1 \\ 2x+1 = 3(x-1) \end{cases} \).
B. \( \begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ 2x+1 = x-1 \end{cases} \).
C. \( \begin{cases} x > 1 \\ \frac{2x+1}{x-1} = 1 \end{cases} \).
D. \( \begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ \frac{2x+1}{x-1} = 1 \end{cases} \).
Câu 8: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thoi. Gọi \( I, J \) lần lượt là trung điểm của \( SA \) và \( SC \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \( BD \perp AB \).
B. \( IJ \perp BD \).
C. \( AB \perp AD \).
D. \( IJ \perp SA \).
Câu 9: Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy \( ABC \) là tam giác vuông tại A và đường thẳng \( SA \) đồng thời vuông góc với hai đường thẳng \( AB \) và \( BC \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \( SC \perp (SAB) \).
B. \( AC \perp (SAB) \).
C. \( SB \perp (SAC) \).
D. \( BC \perp (SAB) \).
Câu 10: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình vuông và \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \( BD \perp (SAC) \).
B. \( AB \perp (SAD) \).
C. \( SA \perp (SBD) \).
D. \( AD \perp (SAB) \).
Câu 11: Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) (tham khảo hình vẽ bên). Mặt phẳng \( (ABCD) \) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. \( (ABC'D') \).
B. \( (AB'D') \).
C. \( (ACC'A') \).
D. \( (BDC') \).
Câu 12: Một cái lều có dạng hình lăng trụ \( ABC.A'B'C' \) có cạnh bên \( AA' \) vuông góc với đáy như hình dưới đây. Biết đáy là tam giác đều cạnh \( 2m \), cạnh bên \( AA' = 3m \). Diện tích hình chiếu vuông góc của \( \Delta ABB' \) trên mặt phẳng \( (BB'C'C) \) là
A. \( 1,5m^2 \).
B. \( 3m^2 \).
C. \( 6m^2 \).
D. \( 0,75m^2 \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho ba số thực dương \( a, b, c \) khác 1. Đồ thị các hàm số \( y = a^x, y = b^x, y = c^x \) được cho trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Hai hàm số \( y = a^x \) và \( y = c^x \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).
b) Hai hàm số \( y = b^x \) và \( y = c^x \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \).
c) Từ đồ thị hàm số ta xác định được \( c \) là một số dương nhỏ hơn 1.
d) Từ đồ thị hàm số ta xác định được \( a < c < b \).
Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng \( ABC.A'B'C' \) có \( AB = AA' = a, BC = 2a, CA = a\sqrt{5} \). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) Đáy \( ABC \) là tam giác vuông.
b) Hai mặt \( (AA'B'B) \) và \( (BB'C') \) vuông góc nhau.
c) Góc giữa hai mặt phẳng \( (ABC) \) và \( (A'BC) \) có số đo bằng \( 45^\circ \).
d) \( AC' = 2a\sqrt{2} \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều \( S.ABCD \) có cạnh đáy bằng \( 2a \), đường cao bằng \( a\sqrt{2} \). Tính \( \tan\varphi \) của góc giữa mặt phẳng \( (SCD) \) và \( (ABCD) \). (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 16: Một cây dù đồng tâm được đặt theo phương thẳng đứng so với mặt đất. Vào thời điểm 12 giờ trưa, ánh nắng mặt trời chiếu vuông góc xuống mặt đất ta thấy bóng của tán dù là một hình lục giác đều có cạnh là 0,5 m. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh dù đến một đỉnh bất kỳ của lục giác đều trên mặt đất là 2,5 m. Giả sử chiều cao của đế dù là không đáng kể, khi đó chiều cao của thân dù là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 17: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức \( f(t) = A \cdot e^{rt} \), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, \( r \) là tỷ lệ tăng trưởng (\( r > 0 \)), \( t \) (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Câu 18: Cho \( x, y \) là các số thực dương. Giả sử \( \left(\frac{x}{y}\right)^{\sqrt[3]{x^3 y^5}} = x^a \cdot y^b \) với \( a, b \) là số hữu tỷ. Tính \( a+b \).
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Giải phương trình \( \log_2 x \cdot \log_3(2x-1) = 2\log_2 x \).
Câu 20: Cho \( x, y \) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện \( x^2+9y^2=6xy \). Tính giá trị biểu thức \( M = \frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2\log_{12}(x+3y)} \).
Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều \( ABC.A'B'C' \) có tất cả các cạnh đều bằng \( a \). Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng \( (A'BC) \) và \( (ABC) \).
C. ĐỀ THAM KHẢO
KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2025 - 2026
MÔN: TOÁN KHỐI 11
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Rút gọn biểu thức \( A = \left[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 \right]^{\frac{1}{4}} \cdot (\sqrt{3})^5 \) ta được
A. \( A = \sqrt{3} \).
B. \( A = 3\sqrt{3} \).
C. \( A = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
D. \( A = 9 \).
Câu 2: Nếu \( 2^\alpha = 9 \) thì \( \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{\alpha}{8}} \) bằng
A. \( \frac{1}{3} \).
B. 3.
C. \( \frac{1}{9} \).
D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Câu 3: Nếu \( a^2 = b \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) thì
A. \( \log_{\frac{1}{2}} a = b \).
B. \( 2\log_a b = 1 \).
C. \( \log_a \frac{1}{2} = b \).
D. \( \log_b a = \frac{1}{2} \).
Câu 4: Nếu \( x = \log_3 4 + \log_9 4 \) thì \( 3^x \) bằng
A. 6.
B. 8.
C. 16.
D. 64.
Câu 5: Cho \( \alpha, \beta \) là hai số thực với \( \alpha < \beta \). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \( (0,3)^\alpha < (0,3)^\beta \).
B. \( \pi^\alpha \geq \pi^\beta \).
C. \( (\sqrt{2})^\alpha < (\sqrt{2})^\beta \).
D. \( \left(\frac{1}{2}\right)^\beta > \left(\frac{1}{2}\right)^\alpha \).
Câu 6: Hình nào vẽ đồ thị của hàm số \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \)?
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Phương trình \( 0,1^{2x-1} = 100 \) có nghiệm
A. \( x = -\frac{1}{2} \).
B. \( x = \frac{1}{3} \).
C. \( x = 1\frac{1}{2} \).
D. \( x = 2\frac{1}{3} \).
Câu 8: Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \( \log_{0,1}(1-2x) > -1 \) là
A. \( x=0 \).
B. \( x=1 \).
C. \( x=-5 \).
D. \( x=-4 \).
Câu 9: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình vuông, \( SA \) vuông góc với mặt đáy. Đường thẳng \( CD \) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. \( (SAD) \).
B. \( (SAB) \).
C. \( (SAC) \).
D. \( (SCD) \).
Câu 10: Trong khẳng định sau về lăng trụ đều, khẳng định nào sai?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình vuông.
C. Các cạnh bên bằng nhau.
D. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \( 90^\circ \).
Câu 11: Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thoi tâm O, \( SO \perp (ABCD) \). Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng \( (MBD) \) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. \( (SBC) \).
B. \( (SAC) \).
C. \( (SBD) \).
D. \( (ABCD) \).
Câu 12: Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \). Số đo góc giữa hai đường thẳng \( AB \) và \( A'C' \) bằng
A. \( 60^\circ \).
B. \( 90^\circ \).
C. \( 45^\circ \).
D. \( 30^\circ \).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy là tam giác vuông cân tại B, \( BA = BC = a \). Cạnh bên \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABC) \) và \( SB = a\sqrt{2} \). Gọi I là trung điểm của \( AC \) và kẻ \( IH \perp SC \).
a) \( SA \perp BC \).
b) \( BI \perp (SAC) \).
c) \( \frac{1}{BH^2} = \frac{1}{BS^2} - \frac{1}{BC^2} \).
d) Góc giữa hai đường thẳng \( IH \) và \( BH \) bằng \( 30^\circ \).
Câu 14: Cho hàm số \( y = 2^x \).
a) Hàm số có tập giá trị \( T = (0; +\infty) \).
b) Đồ thị hàm số \( y = 2^x \) nằm bên phải trục tung.
c) \( \lim_{x \to -\infty} y = 0 \).
d) Đồ thị hàm số \( y = 2^x \) cắt đồ thị hàm số \( y = 3^{x+1} \) tại điểm có hoành độ \( x = \log_a b \) (\( 0 < a < 1, b > 1 \)). Khi đó \( ab = 2 \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Câu 15: Cho số dương \( a \) và số thực \( r \), biết \( \sqrt[3]{a\sqrt{a}} = a^r \). Giá trị của \( r \) bằng bao nhiêu?
Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( y = \log(x^2 - 2mx + 4) \) xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
Câu 17: Cho các số thực dương \( x, y \) thoả mãn \( x^2 + y^2 = 14xy \). Khi đó \( \log_2(x+y) = a + \frac{\log_2 xy}{a} \). Tìm \( a \).
Câu 18: Trong hóa học, độ \( pH \) của một dung dịch được tính theo công thức \( pH = -\log[H^+] \), trong đó \( [H^+] \) là nồng độ \( H^+ \) tính bằng \( mol/l \). Biết nước chanh có độ \( pH \) bằng 2,4 và nước cam có độ \( pH \) bằng 3,5. Nước chanh có độ acid gấp bao nhiêu lần nước cam (nghĩa là có nồng độ \( H^+ \) gấp bao nhiêu lần)? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.
Câu 19: Cho \( \log_a b = 5 \) và \( \log_a c = 2 \) với \( a, b, c \) dương; \( a \neq 1 \). Tính \( Q = \log_a(b^3c^2) \).
Câu 20: Kim tự tháp Kheops tại Ai Cập được xây dựng vào khoảng thời gian từ năm 2580-2560 trước công nguyên có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 149m và cạnh đáy dài khoảng 230m. Tính tan góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. (Nguồn https://consosukien.vn/kha-m-pha-kim-tu-tha-p-ai-ca-p.htm)
Câu 21: Giải bất phương trình \( (x^2+1) \cdot 2^{x^2-1} + 2^{x^2+x-1} - 2^x - x^2 - 1 < 0 \).
