Đề bài
Cho tam giác đều \(\triangle ABC\) cạnh \(a\) nằm trong mặt phẳng \((P)\). Gọi \(O\) là tâm của tam giác. Từ \(O\) dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với \((P)\). Trên \(OH\) lấy ba điểm \(X_1, X_2, X_3\) theo thứ tự sao cho \(OX_1 < OX_2 < OX_3\).
Qua mỗi điểm \(X_k\) (\(k=1,2,3\)), dựng mặt phẳng \((P_k)\) song song với \((P)\). Trong mặt phẳng \((P_k)\), lấy tam giác đều \(\triangle A_k B_k C_k\) có tâm \(X_k\) và các cạnh song song với các cạnh của \(\triangle ABC\).
Giả sử rằng các cạnh này có độ dài thỏa mãn \(a_1 > a_2 > a_3 > 0\) (trong đó \(a_k\) là cạnh của \(\triangle A_k B_k C_k\)).
Trên \(OH\) phía trên \(X_3\) lấy điểm \(S\). Trong mặt phẳng song song với \((P)\) và đi qua \(S\), vẽ một ngôi sao năm cánh cân đối (đặt tâm sao tại \(S\)).
Yêu cầu
- Chứng minh các mặt phẳng chứa các tam giác \(\triangle A_k B_k C_k\) song song với \((P)\) và với nhau.
- Gọi \(\lambda_k = \dfrac{a_k}{a}\). Chứng minh rằng nếu tính thể tích các chóp (pyramid) tương ứng có cùng đỉnh nằm trên trục thẳng đứng \(OH\) thì tỉ số thể tích tỉ lệ theo \(\lambda_k^3\). (Nói cách khác: tỉ số thể tích giữa khối tạo bởi tam giác nhỏ và khối tương ứng ban đầu bằng \(\lambda_k^3\)).
- Chứng minh rằng ảnh chiếu vuông góc của ngôi sao tại \(S\) lên mặt phẳng \((P)\) là một ngũ giác đều.