CHỦ ĐỀ DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
\(u: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}\)
\(n \mapsto u(n)\)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển \(u_1, u_2, u_3, ..., u_n, ...\), trong đó \(u_n = u(n)\) hoặc viết tắt là \((u_n)\), và gọi \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\) và là số hạng tổng quát của dãy số.
2) Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập \(M = \{1, 2, 3, ..., m\}\) với \(m \in \mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
3) Dãy số tăng và dãy số giảm
+) Dãy số \((u_n)\) được gọi là tăng nếu \(u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
+) Dãy số \((u_n)\) được gọi là giảm nếu \(u_{n+1} < u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
4) Dãy số bị chặn
+) Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số \(M\) sao cho \(u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
+) Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số \(m\) sao cho \(u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
+) Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số \(M, m\) sao cho \(m \leq u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Lưu ý: Các dấu "=" nêu trên không nhất thiết phải xảy ra.
II. PHÂN DẠNG TOÁN VÀ HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1. Xác định dãy số
Ví dụ 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp?
a) \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 2n + 1; n \geq 1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} u_1 = -1 \\ u_{n+1} = u_n + 3; n \geq 1 \end{cases}\)
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 2n + 1 \end{cases} \Rightarrow u_1 = 1; u_2 = u_1 + 3 = 4; u_3 = u_2 + 5 = 9; u_4 = u_3 + 7 = 16; u_5 = u_4 + 9 = 25\)
Từ đó ta có thể nhận thấy \(u_n = n^2; n \geq 1\). (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với \(n = 1\) ta có \(u_1 = 1\), vậy (*) đúng.
+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = k^2, k \geq 1\).
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), tức là \(u_{k+1} = (k+1)^2; k \geq 0\).
Thật vậy \(u_{k+1} = u_k + 2k + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 \Rightarrow\) (*) đúng.
Vậy \(u_n = n^2; n \geq 1\).
b) Ta có:
\(\begin{cases} u_1 = -1 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases} \Rightarrow u_1 = -1; u_2 = u_1 + 3 = 2; u_3 = u_2 + 3 = 5; u_4 = u_3 + 3 = 8; u_5 = u_4 + 3 = 11\)
Từ đó ta có thể nhận thấy \(u_n = 3n - 4\). (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với \(n = 1\) ta có \(u_1 = -1\), vậy (*) đúng với \(n = 1\).
+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 3k - 4\).
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), tức là \(u_{k+1} = 3(k+1) - 4\).
Thật vậy \(u_{k+1} = u_k + 3 = 3k - 4 + 3 = 3k - 1 = 3(k+1) - 4 \Rightarrow\) (*) đúng.
Vậy \(u_n = 3n - 4\).
Ví dụ 2. Cho dãy số \(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n^2}; n \geq 1 \end{cases}\). Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số. Dự đoán công thức \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp?
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
\(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n^2} \end{cases} \Rightarrow u_1 = 3 = \sqrt{9}; u_2 = \sqrt{1 + u_1^2} = \sqrt{10}; u_3 = \sqrt{1 + u_2^2} = \sqrt{11}\)
\(u_4 = \sqrt{1 + u_3^2} = \sqrt{12}; u_5 = \sqrt{1 + u_4^2} = \sqrt{13}\). Ta nhận thấy \(u_n = \sqrt{n + 8}\). (*)
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
+) Với \(n = 1\) ta có \(u_1 = 3\), vậy (*) đúng với \(n = 1\).
+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = \sqrt{k + 8}\).
+) Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), tức là \(u_{k+1} = \sqrt{(k+1) + 8} = \sqrt{k + 9}\).
Thật vậy \(u_{k+1} = \sqrt{1 + u_k^2} = \sqrt{1 + k + 8} = \sqrt{k + 9} \Rightarrow\) (*) đúng.
Vậy \(u_n = \sqrt{n + 8}\).
Ví dụ 3. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = -\frac{3}{2}u_n^2 + \frac{5}{2}u_n + 1; n \geq 1 \end{cases}\)
a) Tính \(u_2; u_3; u_4\).
b) Chứng minh rằng \(u_{n+3} = u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Lời giải:
a) Ta có:
\(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = -\frac{3}{2}u_n^2 + \frac{5}{2}u_n + 1 \end{cases} \Rightarrow u_2 = -\frac{3}{2}u_1^2 + \frac{5}{2}u_1 + 1 = 2; u_3 = -\frac{3}{2}u_2^2 + \frac{5}{2}u_2 + 1 = 0; u_4 = -\frac{3}{2}u_3^2 + \frac{5}{2}u_3 + 1 = 1\)
b) Ta chứng minh \(u_{n+3} = u_n\) (*) \(\forall n \in \mathbb{N}^*\) bằng quy nạp.
+) Với \(n = 1\) ta có \(u_4 = u_1\), đúng theo phần a.
+) Giả sử (*) với \(n = k\), tức là \(u_{k+3} = u_k\).
+) Ta cần chứng minh (*) với \(n = k + 1\), tức cần chứng minh \(u_{k+4} = u_{k+1}\).
Thật vậy, theo cách cho dãy số ta có \(u_{k+4} = -\frac{3}{2}u_{k+3}^2 + \frac{5}{2}u_{k+3} + 1 = -\frac{3}{2}u_k^2 + \frac{5}{2}u_k + 1 = u_{k+1} \Rightarrow\) (*) đúng.
Vậy \(u_{n+3} = u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Dạng 2. Xét tính đơn điệu của dãy số
Phương pháp giải:
• Dãy số \((u_n)\) được gọi là tăng nếu \(u_n < u_{n+1}; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
• Dãy số \((u_n)\) được gọi là giảm nếu \(u_n > u_{n+1}; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của một dãy số:
■ Phương pháp 1: Xét hiệu \(H = u_{n+1} - u_n\)
+) Nếu \(H > 0\) thì dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu \(H < 0\) thì dãy số đã cho là dãy giảm.
■ Phương pháp 2: Nếu \(u_n > 0\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{u_{n+1}}{u_n}\)
+) Nếu \(T > 1 \Leftrightarrow u_{n+1} > u_n \Rightarrow\) dãy số đã cho là dãy tăng.
+) Nếu \(T < 1 \Leftrightarrow u_{n+1} < u_n \Rightarrow\) dãy số đã cho là dãy giảm.
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) \(u_n = 2n + 3\)
b) \(u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^n}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(u_n = 2n + 3; u_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 5 \Rightarrow u_{n+1} - u_n = (2n + 5) - (2n + 3) > 0\)
Suy ra \(u_{n+1} > u_n \Rightarrow\) dãy số đã cho là dãy tăng.
b) Ta có: \(u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^n}; u_{n+1} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}} \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{n+1}{n}}\)
Giả sử: \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{n+1}{n}} > 1 \Leftrightarrow \frac{n+1}{n} > 4 \Leftrightarrow n+1 > 4n \Leftrightarrow 3n < 1 \Rightarrow\) vô lý.
Vậy \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \Leftrightarrow u_{n+1} < u_n \Rightarrow\) dãy số đã cho là dãy số giảm.
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{n}{n^2 + 1}\)
b) \(u_n = \frac{\sqrt{n+1} - n}{n}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(u_n = \frac{n}{n^2 + 1}; u_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}\)
\(\Rightarrow u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2)}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}\)
\(= \frac{n^3 + n^2 + n + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n}{(n^2+1)(n^2+2n+2)} = \frac{-n^2 - n + 1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)} < 0, \forall n \geq 1 \Rightarrow (u_n)\) là dãy số giảm.
b) \(u_n = \frac{\sqrt{n+1} - n}{n} = \frac{\sqrt{n+1}}{n} - 1 \Rightarrow u_{n+1} = \frac{\sqrt{n+2}}{n+1} - 1\)
Khi đó ta có: \(u_{n+1} - u_n = \left(\frac{\sqrt{n+2}}{n+1} - 1\right) - \left(\frac{\sqrt{n+1}}{n} - 1\right) = \frac{\sqrt{n+2}}{n+1} - \frac{\sqrt{n+1}}{n} = \frac{n\sqrt{n+2} - (n+1)\sqrt{n+1}}{n(n+1)}\)
Giả sử: \(u_{n+1} - u_n > 0 \Leftrightarrow n\sqrt{n+2} - (n+1)\sqrt{n+1} > 0 \Leftrightarrow n\sqrt{n+2} > (n+1)\sqrt{n+1}\)
\(\Leftrightarrow n^2(n+2) > (n+1)^3 \Leftrightarrow n^3 + 2n^2 > n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \Leftrightarrow n^2 + 3n + 1 < 0 \Rightarrow\) vô lý.
Vậy \(u_{n+1} - u_n < 0 \Rightarrow (u_n)\) là dãy số giảm.
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{1}{n} - 2\)
b) \(u_n = \frac{n-1}{n+1}\)
Lời giải:
a) \(u_n = \frac{1}{n} - 2 \Rightarrow u_{n+1} = \frac{1}{n+1} - 2 \Rightarrow u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{n+1} - 2\right) - \left(\frac{1}{n} - 2\right) = -\frac{1}{n(n+1)} < 0 \Rightarrow u_{n+1} < u_n\)
Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.
b) \(u_n = \frac{n-1}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}\)
Khi đó: \(u_{n+1} = 1 - \frac{2}{n+2} \Rightarrow u_{n+1} - u_n = \left(1 - \frac{2}{n+2}\right) - \left(1 - \frac{2}{n+1}\right) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} > 0 \Leftrightarrow u_{n+1} > u_n\)
Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{2n+1}{5n+2}\)
b) \(u_n = 2n^2 + 5\)
Lời giải:
a) \(u_n = \frac{2n+1}{5n+2} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n+2)} \Rightarrow u_{n+1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n+7)}\)
Khi đó: \(u_{n+1} - u_n = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n+7)}\right) - \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{5(5n+2)}\right) = -\frac{1}{(5n+2)(5n+7)} < 0 \Rightarrow u_{n+1} < u_n\).
Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm.
b) \(u_n = 2n^2 + 5 \Rightarrow u_{n+1} = 2(n+1)^2 + 5\)
Khi đó \(u_{n+1} - u_n = 2(n+1)^2 + 5 - (2n^2 + 5) = 4n + 2 > 0 \Rightarrow u_{n+1} > u_n \Rightarrow (u_n)\) là dãy số tăng.
Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1}\)
b) \(u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)
Lời giải:
a) \(u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1} = 2 - \frac{3}{n^2 + 1} \Rightarrow u_{n+1} = 2 - \frac{3}{(n+1)^2 + 1}\)
Với \(n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (n+1)^2 > n^2 \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)^2 + 1} < \frac{1}{n^2 + 1} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{(n+1)^2 + 1} > 2 - \frac{3}{n^2 + 1} \Leftrightarrow u_{n+1} > u_n\)
\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy số tăng.
b) \(u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \Rightarrow u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}}\)
Do \(n \in \mathbb{N}^*\) nên \(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} > \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \Rightarrow u_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} < u_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow u_{n+1} < u_n \Rightarrow (u_n)\) là dãy số giảm.
Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{3n^2 - 2n + 1}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{\sqrt{n+1} - 1}{n}\)
Lời giải:
a) \(u_n = \frac{3n^2 - 2n + 1}{n+1} = 3n - 5 + \frac{6}{n+1} \Rightarrow u_{n+1} = 3n - 2 + \frac{6}{n+2}\)
Khi đó: \(u_{n+1} - u_n = 3n - 2 + \frac{6}{n+2} - \left(3n - 5 + \frac{6}{n+1}\right) = 3 - \frac{6}{(n+1)(n+2)}\)
Với \(\begin{cases} n \geq 1 \\ n \in \mathbb{N} \end{cases} \Rightarrow (n+1)(n+2) \geq 6 \Leftrightarrow \frac{6}{(n+1)(n+2)} \leq 1 \Leftrightarrow 3 - \frac{6}{(n+1)(n+2)} \geq 2 \Rightarrow u_{n+1} > u_n\)
\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \(u_n = \frac{\sqrt{n+1} - 1}{n} = \frac{n}{n(\sqrt{n+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + 1}\)
Khi \(n\) tăng thì dễ thấy mẫu số tăng, phân số giảm nên dãy số đã cho là dãy số giảm.
Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{3^n}{2^{n+1}}\).
Lời giải:
Ta có: \(u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}} \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+2}} \cdot \frac{2^{n+1}}{3^n} = \frac{3}{2} > 1\)
Do \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)\) tăng.
Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{\sqrt{n}}{2^n}\).
Lời giải:
Ta có: \(u_{n+1} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}} \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}\)
Với \(\forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{n} \leq 1 \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq \frac{1}{2}\sqrt{2} < 1\)
Mà \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_{n+1} < u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)\) giảm.
Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{3^n}{n^2}\).
Lời giải:
Ta có: \(u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{3^n} = 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2\)
Khi đó: \(\frac{u_n}{u_{n+1}} > 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} > \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{n} > \sqrt{3} - 1 \Leftrightarrow n < \frac{1}{\sqrt{3} - 1}\) mà \(n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n = 1\).
\(\frac{u_n}{u_{n+1}} < 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} < \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \sqrt{3} - 1 \Leftrightarrow n > \frac{1}{\sqrt{3} - 1}\) mà \(n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \geq 2\).
Hơn nữa \(u_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\) nên \(\begin{cases} u_{n+1} < u_n \Leftrightarrow n = 1 \\ u_{n+1} > u_n \Leftrightarrow n \geq 2 \end{cases}\)
Do đó \(u_1 > u_2\) và \(u_2 < u_3 < ... < u_n < u_{n+1} < ... \Rightarrow (u_n)\) không tăng và cũng không giảm.
Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}\).
Lời giải:
Ta có: \(u_{n+1} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \Rightarrow u_{n+1} - u_n = \sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n-1}\).
Lại có: \(\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}\right)^2 - \left(2\sqrt{n}\right)^2 = 2n + 2\sqrt{n^2-1} - 4n = 2\left(\sqrt{n^2-1} - n\right) < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\)
\(\Rightarrow \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} < 2\sqrt{n}, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_{n+1} - u_n < 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)\) giảm.
Ví dụ 11. Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \((u_n)\), với \(u_n = \frac{na + 2}{n+1}\)
a) là dãy số tăng.
b) là dãy số giảm.
Lời giải:
Ta có: \(u_n = \frac{na+2}{n+1} = a + \frac{2-a}{n+1} \Rightarrow u_{n+1} = 2 + \frac{2-a}{n+2} \Rightarrow u_{n+1} - u_n = \frac{a-2}{(n+1)(n+2)}\).
a) Để \((u_n)\) là dãy số tăng thì \(u_{n+1} - u_n = \frac{a-2}{(n+1)(n+2)} > 0 \Leftrightarrow a > 2\).
b) Để \((u_n)\) là dãy số giảm thì \(u_{n+1} - u_n = \frac{a-2}{(n+1)(n+2)} < 0 \Leftrightarrow a < 2\)
Ví dụ 12. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n + a^2}{n+1}\) (\(a\) là tham số thực). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) để dãy số \((u_n)\) tăng.
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Lời giải:
Ta có \(u_n = 1 + \frac{a^2 - 1}{n+1} \Rightarrow u_{n+1} = 1 + \frac{a^2 - 1}{n+2}\)
\(\Rightarrow u_{n+1} - u_n = (a^2 - 1)\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1}\right) = (a^2 - 1) \cdot \frac{-1}{(n+1)(n+2)}\)
Mà \((u_n)\) tăng nên \(u_{n+1} - u_n > 0 \Leftrightarrow (a^2 - 1) \cdot \frac{-1}{(n+1)(n+2)} > 0 \Leftrightarrow a^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < a < 1\).
Hơn nữa \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a = 0\). Chọn B.
Ví dụ 13. Cho các dãy số \((u_n), (v_n), (w_n)\) Với \(u_n = n^2, v_n = \frac{1}{n+1}, w_n = 3^n - n\). Hỏi có bao nhiêu dãy số là dãy số tăng ?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Lời giải:
Ta có \(u_{n+1} = (n+1)^2 \Rightarrow u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (u_n)\) tăng.
\(v_{n+1} = \frac{1}{n+2} \Rightarrow v_{n+1} - v_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = -\frac{1}{n(n+1)} < 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (v_n)\) giảm.
\(w_{n+1} = 3^{n+1} - (n+1) = 3.3^n - n - 1 \Rightarrow w_{n+1} - w_n = 2.3^n - 1\)
Với \(\forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow 3^n \geq 3 \Rightarrow w_{n+1} - w_n > 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow (w_n)\) tăng. Chọn A.
Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số
Phương pháp giải:
• Dãy số \((u_n)\) được gọi bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \(u_n \leq M; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
• Dãy số \((u_n)\) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \(u_n \geq m; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
• Dãy số \((u_n)\) được gọi bị chặn nếu tồn tại một số \(M\) và \(m\) sao cho \(m \leq u_n \leq M; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Chú ý:
+) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘=’
+) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi \(u_1\); còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi \(u_1\).
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3}\)
b) \(u_n = \frac{7n + 5}{5n + 7}\)
Lời giải:
a) Viết lại \(u_n\) dưới dạng: \(u_n = \frac{n^2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2(n^2 - \frac{3}{2})} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2(2n^2 - 3)}\)
Với \(\begin{cases} n=0 \Rightarrow u_0 = -\frac{1}{3} \\ n=1 \Rightarrow u_1 = -2 \Rightarrow u_n \geq -2 \\ \forall n \geq 2 \Rightarrow 2n^2 - 3 > 0 \Rightarrow u_n > \frac{1}{2} \end{cases}\)
Xét: \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2 + 1}{2(n+1)^2 - 3} \cdot \frac{2n^2 - 3}{n^2 + 1}\)
Nhận thấy \(\forall u_n > 0\) thì \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \Leftrightarrow (n^2 + 2n + 2)(2n^2 - 3) < (n^2 + 1)(2n^2 + 4n - 1)\)
\(\Leftrightarrow 4n^4 - 3n^2 + 4n^3 - 6n + 4n^2 - 6 < 4n^4 + 4n^3 - n^2 + 2n^2 + 4n - 1 \Leftrightarrow n^2 - 6n - 6 < n^2 + 4n - 1\)
\(\Leftrightarrow 0 < 10n + 5 \ \forall n \in \mathbb{N}^*\)
Do đó: \(u_{n+1} < u_n < ... < u_2 = 1\)
Vậy \(-2 < u_n < 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
b) Viết lại \(u_n\) dưới dạng \(u_n = \frac{7n+5}{5n+7} = \frac{\frac{7}{5}(5n+7) - \frac{24}{5}}{5n+7} = \frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n+7)} < \frac{7}{5} \forall n \in \mathbb{N}, u_n > \frac{5}{7}\)
Do đó, \(\frac{5}{7} < u_n < \frac{7}{5} \Rightarrow (u_n)\) bị chặn
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{1}{2n^2 - 3}\)
b) \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\)
Lời giải:
a) Với \(\begin{cases} n=0 \Rightarrow u_0 = -\frac{1}{3} \\ n=1 \Rightarrow u_1 = -1 \Rightarrow u_n \geq -1 \\ \forall n \geq 2 \Rightarrow 2n^2 - 3 > 0, \Rightarrow u_n > 0 \end{cases}\)
Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n^2 - 3}{2(n+1)^2 - 3} < 1 \Leftrightarrow n < n + 1\)
Do đó, suy ra: \(u_n < u_{n-1} < ... < u_2 = \frac{1}{5}\). Vậy \(-1 \leq u_n < \frac{1}{5} \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
b) Ta dễ dàng thấy:
▪ \(u_n > 0\) do đó nó bị chặn dưới.
▪ Vì \(n(n+1) \geq 2 \Leftrightarrow u_n \leq \frac{1}{2}\) do đó nó bị chặn trên.
Vậy ta được \(0 < u_n \leq \frac{1}{2}\), do đó nó bị chặn.
Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{1}{2n^2 - 1}\)
b) \(u_n = \frac{n-1}{\sqrt{n^2+1}}\)
Lời giải:
a) Với \(n=0 \Rightarrow u_0 = -1 \forall n \in \mathbb{N}^*: 2n^2 - 1 \geq 0\) nên \(u_n > 0\)
do đó: \(u_n \geq -1 \ \forall n\)
Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2n^2 - 1}{2(n+1)^2 - 1} < 1 \Leftrightarrow n < n + 1\)
Do đó, suy ra \(u_n < u_{n-1} < ... < u_2 < u_1 = 1\)
Vậy \(-1 < u_n < 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
b) Với \(n=0 \Rightarrow u_0 = -1 \ \forall n \in \mathbb{N}^*: n-1 \geq 0\) và \(\sqrt{n^2+1} > 0\) nên \(u_n \geq 0\)
do đó \(u_n \geq -1 \ \forall n\)
Và \(\forall n \in \mathbb{N}, \frac{n-1}{\sqrt{n^2+1}} \leq -1\), vậy \(-1 \leq u_n \leq 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{2n^2}{n^2+1}\).
b) \(u_n = \frac{2n^2 + 2n + 1}{n^2 + n + 4}\).
Lời giải:
a) Vì \(\begin{cases} 2n^2 \geq 0 \\ n^2 + 1 > 0 \end{cases} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow u_n \geq 0\)
Mặt khác, \(u_n = \frac{2(n^2+1)-2}{n^2+1} = 2 - \frac{2}{n^2+1} < 2\). Vậy \(0 \leq u_n < 2 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
b) Vì \(\begin{cases} 2n^2 + 2n + 1 = 2(n^2+1)+1 > 0 \\ n^2 + n + 4 = n(n+1) + 4 > 0 \end{cases} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow u_n > 0\)
Mặt khác, \(u_n = \frac{2n^2 + 2n + 1}{n^2 + n + 4} = \frac{2(n^2+n+4)-7}{n^2+n+4} = 2 - \frac{7}{n^2+n+4} < 2\)
Vậy \(0 < u_n < 2 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn.
Ví dụ 5. Cho dãy số \((u_n)\), với \(u_n = \frac{3n + (-1)^n}{4n + (-1)^{n+1}}\)
a) Tính 6 số hạng đầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số.
b) Tính \(u_{2n}\) và \(u_{2n+1}\). Chứng minh rằng \(0 < u_n \leq \frac{3n+4}{4n-1}\).
Lời giải:
a) Ta có: \(u_1 = \frac{2}{5}; u_2 = 1; u_3 = \frac{8}{13}; u_4 = \frac{13}{15}; u_5 = \frac{16}{21}; u_6 = \frac{19}{23}\), nhận xét thấy dãy số không tăng cũng không giảm.
b) Ta có \(\begin{cases} u_{2n} = \frac{6n+1}{8n-1} \\ u_{2n+1} = \frac{6n+2}{8n+5} \end{cases}\)
Tổng quát, với \(n = 2k (k \geq 1, k \in Z) \Rightarrow u_n = \frac{3n+1}{4n-1} \Rightarrow 0 < u_n \leq \frac{3n+1}{4n-1}\)
Với \(n = 2k + 1 (k \geq 0, k \in Z) \Rightarrow u_n = \frac{3n-1}{4n+1} \Rightarrow \begin{cases} u_n > 0 \\ u_n = \frac{3n-1}{4n+1} < \frac{3n+4}{4n+1} < \frac{3n+4}{4n-1} \end{cases} \Rightarrow 0 < u_n \leq \frac{3n+4}{4n+1}\)
Vậy với mọi \(n\) thì \(0 < u_n \leq \frac{3n+4}{4n-1}\)
Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số \((u_n)\) cho bởi:
a) \(u_n = \frac{2n+3}{n+2}\)
b) \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\)
Lời giải:
a) \(u_{n+1} - u_n = \frac{2n+5}{n+3} - \frac{2n+3}{n+2} = \frac{1}{(n+3)(n+2)} > 0\) nên đây là dãy tăng.
Hơn nữa \(u_n = \frac{2n+3}{n+2} = \frac{2(n+2)-1}{n+2} = 2 - \frac{1}{n+2} < 1 \Rightarrow u_n\) bị chặn trên bởi 2, chặn dưới bởi \(u_1 = \frac{5}{3}\).
Vậy dãy đã cho bị chặn.
b) \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{n+2} < 1 \Rightarrow\) đây là dãy giảm và bị chặn trên bởi \(u_1 = \frac{1}{2}\).
Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số \((u_n)\) cho bởi:
a) \(u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1}\)
b) \(u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 2n + n}}\)
Lời giải:
a) \(u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 + 2n + 1 + 2n + 2}{n^2 + 2n + 1 + n + 1 + 1} - \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} = \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 + 3n + 3} - \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} > 0\) và
\(u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + n + 1} = \frac{n^2 + n + 1 + n - 1}{n^2 + n + 1} = 1 + \frac{n - 1}{n^2 + n + 1} > 1\)
Nên dãy đã cho là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1.
b) Ta có \(u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \frac{n(\sqrt{n^2+2n}-n)}{2n} = \frac{\sqrt{n^2+2n}-n}{2} > 0\). Lại có
\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\sqrt{n^2+4n+3}-n-1}{\sqrt{n^2+2n}-n} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{n^2+4n+3} > \sqrt{n^2+2n}+1\)
\(\Leftrightarrow n^2+4n+3 > n^2+2n+1+2\sqrt{n^2+2n} \Leftrightarrow n+1 > \sqrt{n^2+2n} \Leftrightarrow n^2+2n+1 > n^2+2n\) (*)
Do (*) hiển nhiên đúng nên ta có dãy đã cho là dãy tăng, và bị chặn dưới bởi \(u_1 = \frac{1}{\sqrt{3}+1}\).
Hơn nữa \(u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+n} < \frac{n}{n} = 1 \Rightarrow u_n\) bị chặn trên bởi 1. Vậy dãy đã cho bị chặn.
Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số \(u_n = \frac{n+3}{n+1}\) giảm và bị chặn.
Lời giải:
▪ Xét: \(u_{n+1} - u_n = \frac{n+4}{n+2} - \frac{n+3}{n+1} = \frac{(n+4)(n+1) - (n+2)(n+3)}{(n+2)(n+1)} =\)
\(= \frac{n^2 + 5n + 4 - n^2 - 5n - 6}{(n+2)(n+1)} = \frac{-2}{(n+2)(n+1)}\)
Nhận thấy \(u_{n+1} - u_n < 0 \Rightarrow u_{n+1} < u_n\), do đó, dãy số \(u_n\) giảm
▪ Viết lại \(u_n\) dưới dạng \(u_n = 1 + \frac{2}{n+1} > 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn dưới
Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số \(u_n = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n(n+1)}\) tăng và bị chặn trên.
Lời giải:
Viết lại \(u_n\) dưới dạng
\(u_n = \frac{2-1}{1.2} + \frac{3-2}{2.3} + \frac{4-3}{3.4} + ... + \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Xét hiệu: \(u_{n+1} - u_n = 1 - \frac{1}{n+2} - \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} > 0 \Rightarrow (u_n)\) tăng
Nhận thấy \(u_n = 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn trên.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số \(u_n = \frac{n^2+1}{2n^2-3}\) là một dãy số bị chặn.
Lời giải:
Viết lại \(u_n\) dưới dạng \(u_n = \frac{n^2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2(n^2 - \frac{3}{2})} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2(2n^2 - 3)}\)
Với \(\begin{cases} n=0 \Rightarrow u_0 = -\frac{1}{3} \\ n=1 \Rightarrow u_1 = -2 \Rightarrow u_n \geq -2 \\ \forall n \geq 2 \Rightarrow 2n^2 - 3 > 0 \Rightarrow u_n > \frac{1}{2} \end{cases}\)
Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2+1}{2(n+1)^2-3} \cdot \frac{2n^2-3}{n^2+1}\)
Nhận thấy: với \(\forall u_n > 0\) thì \(\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \Leftrightarrow (n^2+2n+2)(2n^2-3) < (n^2+1)(2n^2+4n-1)\)
\(\Leftrightarrow 4n^4 - 3n^2 + 4n^3 - 6n + 4n^2 - 6 < 4n^4 + 4n^3 - n^2 + 2n^2 + 4n - 1 \Leftrightarrow n^2 - 6n - 6 < n^2 + 4n - 1\)
\(\Leftrightarrow 0 < 10n + 5 \ \forall n \in \mathbb{N}^*\)
Do đó, \(u_{n+1} < u_n < ... < u_2 = 1\). Vậy \(-2 < u_n < 1 \Rightarrow (u_n)\) bị chặn
Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số \(\begin{cases} u_1 = 0 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 4 \end{cases}\)
a) Chứng minh rằng \(u_n < 8\).
b) Chứng minh rằng dãy số tăng và bị chặn.
Lời giải:
a) Giả sử tồn tại \(u_n \geq 8 \Rightarrow u_{n-1} = 2(u_n - 4) = 8\)
Như vậy nếu tồn tại \(u_n \geq 8\) thì \(u_{n-1} \geq 8\), cũng suy ra \(u_{n-2}, u_{n-3}, ..., u_2, u_1 \geq 8\). Vô lí do \(u_1 = 0 < 8\). Nên điều giả sử là sai. Suy ra \(u_n < 8\)
b) Xét \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 4 - u_n = 4 - \frac{u_n}{2} = \frac{8-u_n}{2} > 0 \Rightarrow u_{n+1} > u_n\)
Suy ra dãy tăng. Mà \(u_n < 8\) và \(u_1 \geq 0 \Rightarrow u_n > 0\). Suy ra dãy bị chặn dưới.
Vậy dãy tăng và bị chặn.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{u_n + 1} \end{cases}\)
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi \(\frac{3}{2}\)
Lời giải:
a) \(u_1 = 1; u_2 = \frac{1+2}{1+1} = \frac{3}{2}; u_3 = \frac{\frac{3}{2}+2}{\frac{3}{2}+1} = \frac{7}{5}; u_4 = \frac{\frac{7}{5}+2}{\frac{7}{5}+1} = \frac{17}{12}; u_5 = \frac{\frac{17}{12}+2}{\frac{17}{12}+1} = \frac{41}{29}\)
b) \(u_1 = 1 > 0 \Rightarrow u_n > 0\) suy ra \(u_{n+1} = 1 + \frac{1}{u_n + 1} > 1\)
Đặt \(u_n = v_n + \sqrt{2}\), ta có
\(\begin{cases} v_1 = 1 - \sqrt{2} \\ v_{n+1} + \sqrt{2} = \frac{v_n + \sqrt{2} + 2}{v_n + \sqrt{2} + 1} \Rightarrow v_{n+1} = \frac{v_n(1-\sqrt{2})}{v_n + 1 + \sqrt{2}} \Rightarrow \frac{1}{v_{n+1}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} + \frac{1+\sqrt{2}}{v_n} \end{cases}\)
Đặt \(x_n = \frac{1}{v_n} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = -1 - \sqrt{2} \\ x_{n+1} = -1 - \sqrt{2} + (1+\sqrt{2})x_n \end{cases}\)
Đặt \(y_n = x_n + \frac{-1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow \begin{cases} y_1 = -\frac{(1+\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} \\ y_{n+1} = (1+\sqrt{2})y_n \end{cases}\)
Do \(y_n\) là cấp số nhân công bội \(1 + \sqrt{2} \Rightarrow y_n = -\frac{(1+\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} \cdot (1+\sqrt{2})^{n-1} = -\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}}{\sqrt{2}}\)
Suy ra \(x_n = \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}}{\sqrt{2}} \Rightarrow v_n = \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})^{n+1}} \Rightarrow u_n = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-(1+\sqrt{2})^{n+1}}\)
Vậy ta có đpcm.
Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số \(\begin{cases} u_1 = \sqrt{2} \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \end{cases}\) tăng và bị chăn trên bởi 2.
Lời giải:
Ta có \(u_n > 1\)
Giả sử tồn tại \(u_n \geq 2 \Rightarrow \sqrt{u_{n-1} + 2} \geq 2 \Rightarrow u_{n-1} \geq 2\)
Như vậy, nếu tồn tại \(u_n \geq 2\) thì suy ra \(u_{n-1} \geq 2\), từ đó cũng suy ra được \(u_{n-2}, u_{n-3}, ..., u_2, u_1 \geq 2\) vô lý
Do \(u_1 = \sqrt{2} < 2\). Nên điều giả sử là sai.
Suy ra \(u_n < 2\)
Xét \(u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n = \frac{u_n + 2 - u_n^2}{\sqrt{u_n + 2} + u_n} = \frac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{u_n + 2} + u_n} > 0\)
Suy ra \(u_{n+1} > u_n\), nên đây là dãy tăng.
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên bởi 2.
Ví dụ 14. Cho dãy số \((u_n)\) xác đinh bởi \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = u_n + 7; \forall n \geq 1\)
a) Tính \(u_2, u_4\) và \(u_6\)
b) Chứng minh rằng: \(u_n = 7n - 6; \forall n \geq 1\)
Lời giải:
a) \(u_2 = u_1 + 7 = 8, u_4 = u_3 + 7 = u_2 + 7 + 7 = 8 + 14 = 22, u_6 = u_5 + 7 = u_4 + 7 + 7 = 22 + 14 = 36\)
b) Xét mệnh đề \(u_n = 7n - 6\) với \(n \geq 1\)
Với \(n = 1, u_1 = 1\) đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 7k - 6\), ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\), tức là \(u_{k+1} = 7(k+1) - 6 = 7k + 1\)
Thật vậy, \(u_{k+1} = u_k + 7 = 7k - 6 + 7 = 7k + 1\). (đpcm).
Vậy \(u_n = 7n - 6\)
Ví dụ 15. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = 5u_n \ \forall n \geq 1\)
a) Tính \(u_2, u_4\) và \(u_6\)
b) Chứng minh rằng: \(u_n = 2 \cdot 5^{n-1}; \forall n \geq 1\)
Lời giải:
a) \(u_2 = 5u_1 = 10, u_4 = 5u_3 = 5 \cdot 5u_2 = 25u_2 = 2500, u_6 = 25u_4 = 2500 \cdot 25 = 62500\)
b) Xét mệnh đề \(u_n = 2 \cdot 5^{n-1}\) với \(n \geq 1\)
Với \(n = 1, u_1 = 2\), mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 2 \cdot 5^{k-1}\), ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\), hay là chứng minh \(u_{k+1} = 2 \cdot 5^k\).
Thật vậy, \(u_{k+1} = 5u_k = 2 \cdot 5^{k-1} \cdot 5 = 2 \cdot 5^k\)
Vậy ta có đpcm. Suy ra \(u_n = 2 \cdot 5^{n-1}\).
Ví dụ 16. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = 3u_n + 2n - 1; \forall n \geq 1\)
Chứng minh rằng: \(u_n = 3^n - n; \forall n \geq 1\)
Lời giải:
Xét mệnh đề \(u_n = 3^n - n\) với \(n \geq 1\)
Với \(n = 1\) thì \(u_1 = 2\), mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 3^k - k\), ta sẽ chứng minh đúng với \(n = k + 1\), hay là chứng minh \(u_{k+1} = 3^{k+1} - k - 1\).
Thật vậy \(u_{k+1} = 3u_k + 2k - 1 = 3(3^k - k) + 2k - 1 = 3^{k+1} - (k+1)\)
Vậy ta có đpcm. Suy ra \(u_n = 3^n - n\).
Ví dụ 17. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 4}{4}, \forall n \geq 1\). Chứng minh rằng \((u_n)\) là một dãy không đổi.
Lời giải:
Ta có \(u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 4}{4}, \forall n \geq 1 \Rightarrow u_2 = 2; u_3 = 2\) nên bài toán đúng với \(n = 1; 2; 3\)
Dãy không đổi với \(n = k \Rightarrow u_{k+1} = \frac{u_k^2 + 4}{4} = 2\). Với \(n = k + 1\) thì \(u_{k+2} = \frac{u_{k+1}^2 + 4}{4} = \frac{4+4}{4} = 2\)
Do đó dãy không đổi với mọi số tự nhiên \(n\).
Ví dụ 18. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(\begin{cases} u_1 = \frac{1}{3} \\ u_{n+1} = 4u_n + 7 \end{cases}\)
a) Tính \(u_2, u_3\) và \(u_4\)
b) Chứng minh rằng \(u_k = \frac{2^{2k+1} - 7}{3}\)
Lời giải:
a) Ta có \(\begin{cases} u_1 = \frac{1}{3} \\ u_{n+1} = 4u_n + 7 \end{cases} \Rightarrow u_2 = \frac{25}{3}; u_3 = \frac{121}{3}; u_4 = \frac{505}{3}\).
b) Ta có \(u_n = \frac{2^{2n+1} - 7}{3}\) đúng với \(n = 1; 2; 3; 4\).
Giả sử công thức đúng với \(n = k\), suy ra \(u_k = \frac{2^{2k+1} - 7}{3}\)
Ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\).
Thật vậy \(u_{k+1} = 4u_k + 7 = 4 \cdot \frac{2^{2k+1} - 7}{3} + 7 = \frac{2^2 \cdot 2^{2k+1} - 28 + 21}{3} = \frac{2^{2(k+1)+1} - 7}{3}\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Ví dụ 19. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức \(\begin{cases} u_1 = \sqrt{6} \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} \end{cases}\)
Chứng minh rằng \(u_n < 3, \forall n\).
Lời giải:
Ta có \(u_1 = \sqrt{6} < 3; u_2 = \sqrt{6 + \sqrt{6}} < \sqrt{6 + \sqrt{9}} = 3\)
Giả sử bài toán đúng với \(n = k \Rightarrow u_k < 3\). Ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy
\(u_{k+1} = \sqrt{u_k + 6} < \sqrt{3 + 6} = 3\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
Ví dụ 20. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + 1}\).
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh rằng \((u_n)\) bị chặn.
Lời giải:
a) Ta có \(u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + 1} \Rightarrow u_1 = 0; u_2 = \frac{3}{5}; u_3 = \frac{2}{7}; u_4 = \frac{5}{9}; u_5 = \frac{4}{11}\).
b) Ta có \((-1)^n \in \{-1; 1\} \Rightarrow n + (-1)^n > 0 \Rightarrow u_n > 0\) nên dãy bị chặn dưới bởi 0.
Quan sát thấy dãy không tăng không giảm.
Hơn nữa \(u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + 1} = \frac{2n + 1 - n + (-1)^n - 1}{2n + 1} = 1 - \frac{n + 1 + (-1)^n}{2n + 1}\).
Xét hai trường hợp \(1 + (-1)^n \in \{0; 2\} \Rightarrow \begin{cases} 1 - \frac{n + 1 + (-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{n}{2n + 1} < 1 \\ 1 - \frac{n + 1 + (-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{n + 2}{2n + 1} < 1 \end{cases}\)
Do đó dãy bị chặn trên bởi 1. Kết luận dãy số ban đầu bị chặn.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \frac{-n}{n+1}\). Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là số nào dưới đây?
A. \(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; -\frac{3}{4}; -\frac{4}{5}; -\frac{5}{6}\)
B. \(-\frac{2}{3}; -\frac{3}{4}; -\frac{4}{5}; -\frac{5}{6}; -\frac{6}{7}\)
C. \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}\)
D. \(\frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; \frac{6}{7}\)
Câu 2. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \frac{n}{3^n - 1}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
A. \(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{3}{26}\)
C. \(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{16}\)
D. \(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}\)
Câu 3. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\begin{cases} u_n = -1 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases}\) với \(n \geq 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
A. \(-1; 2; 5\)
B. \(1; 4; 7\)
C. \(4; 7; 10\)
D. \(-1; 3; 7\)
Câu 4. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3}\). Tìm số hạng \(u_5\).
A. \(u_5 = \frac{1}{4}\)
B. \(u_5 = \frac{17}{12}\)
C. \(u_5 = \frac{7}{4}\)
D. \(u_5 = \frac{71}{39}\)
Câu 5. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = (-1)^n \cdot 2n\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(u_1 = -2\)
B. \(u_2 = 4\)
C. \(u_3 = -6\)
D. \(u_4 = -8\)
Câu 6. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = (-1)^n \frac{2n}{n}\). Tìm số hạng \(u_3\).
A. \(u_3 = \frac{8}{3}\)
B. \(u_3 = 2\)
C. \(u_3 = -2\)
D. \(u_3 = -\frac{8}{3}\)
Câu 7. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 1) \end{cases}\). Tìm số hạng \(u_4\).
A. \(u_4 = \frac{5}{9}\)
B. \(u_4 = 1\)
C. \(u_4 = \frac{2}{3}\)
D. \(u_4 = \frac{14}{27}\)
Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 2 \end{cases}\). Mệnh đề nào sau đây là sai.
A. \(u_2 = \frac{5}{2}\)
B. \(u_3 = \frac{15}{4}\)
C. \(u_4 = \frac{31}{8}\)
D. \(u_5 = \frac{63}{16}\)
Câu 9. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \frac{n+1}{2n+1}\). Số \(\frac{8}{15}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8
B. 6
C. 5
D. 7
Câu 10. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = 2^n\). Tìm số hạng \(u_{n+1}\).
A. \(u_{n+1} = 2^n \cdot 2\)
B. \(u_{n+1} = 2^n + 1\)
C. \(u_{n+1} = 2(n+1)\)
D. \(u_{n+1} = 2^n + 2\)
Câu 11. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = 3^n\). Tìm số hạng \(u_{2n-1}\).
A. \(u_{2n-1} = 3^2 \cdot 3^n - 1\)
B. \(u_{2n-1} = 3^n \cdot 3^{n-1}\)
C. \(u_{2n-1} = 3^{2n} - 1\)
D. \(u_{2n-1} = 3^{2(n-1)}\)
Câu 12. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = 5^{n+1}\). Tìm số hạng \(u_{n-1}\).
A. \(u_{n-1} = 5^{n-1}\)
B. \(u_{n-1} = 5^n\)
C. \(u_{n-1} = 5 \cdot 5^{n+1}\)
D. \(u_{n-1} = 5 \cdot 5^{n-1}\)
Câu 13. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n+3}\). Tìm số hạng \(u_{n+1}\).
A. \(u_{n+1} = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2(n+1)+3}\)
B. \(u_{n+1} = \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2(n-1)+3}\)
C. \(u_{n+1} = \left(\frac{n}{n+2}\right)^{2n+3}\)
D. \(u_{n+1} = \left(\frac{n}{n+2}\right)^{2n+5}\)
Câu 14. Dãy số có các số hạng cho bởi: \(0; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}...\) có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
A. \(u_n = \frac{n+1}{n}\)
B. \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
C. \(u_n = \frac{n-1}{n}\)
D. \(u_n = \frac{n^2-n}{n+1}\)
Câu 15. Dãy số có các số hạng đầu là: \(-1; 1; -1; 1; -1...\) có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
A. \(u_n = 1\)
B. \(u_n = -1\)
C. \(u_n = (-1)^n\)
D. \(u_n = (-1)^{n+1}\).
Câu 16. Dãy số có các số hạng đầu là: \(-2; 0; 2; 4; 6;...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là công thức nào dưới đây?
A. \(u_n = -2n\)
B. \(u_n = n - 2\)
C. \(u_n = -2(n+1)\)
D. \(u_n = 2n - 4\)
Câu 17. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 2u_n \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = n^{n-1}\)
B. \(u_n = 2^n\)
C. \(u_n = 2^{n+1}\)
D. \(u_n = 2\)
Câu 18. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\begin{cases} u_1 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = u_n - 2 \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = \frac{1}{2} + 2(n-1)\)
B. \(u_n = \frac{1}{2} - 2(n-1)\)
C. \(u_n = \frac{1}{2} - 2n\)
D. \(u_n = \frac{1}{2} + 2n\)
Câu 19. Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} - u_n = 2n - 1 \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = 2 + (n-1)^2\)
B. \(u_n = 2 + n^2\)
C. \(u_n = 2 + (n+1)^2\)
D. \(u_n = 2 - (n-1)^2\)
Câu 20. Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + n^2 \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = 1 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
B. \(u_n = 1 + \frac{n(n-1)(2n+2)}{6}\)
C. \(u_n = 1 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\)
D. \(u_n = 1 + \frac{n(n+1)(2n-2)}{6}\)
Câu 21. Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\begin{cases} u_1 = -2 \\ u_{n+1} = -2 - \frac{1}{u_n} \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = \frac{-n+1}{n}\)
B. \(u_n = \frac{n+1}{n}\)
C. \(u_n = -\frac{n+1}{n}\)
D. \(u_n = -\frac{n}{n+1}\)
Câu 22. Cho dãy số \((u_n)\), được xác định \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + (-1)^{2n} \end{cases}\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \(u_n = 1 + n\)
B. \(u_n = 1 - n\)
C. \(u_n = 1 + (-1)^{2n}\)
D. \(u_n = n\)
Câu 23. Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát là \(u_n = 2 \cdot 3^n\) với \(n \in \mathbb{N}^*\). Công thức truy hồi của dãy số đó là
A. \(\begin{cases} u_1 = 6 \\ u_n = 6u_{n-1}, n > 1 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} u_1 = 6 \\ u_n = 3u_{n-1}, n > 1 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_n = 3u_{n-1}, n > 1 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_n = 6u_{n-1}, n > 1 \end{cases}\)
Câu 24. Cho dãy số \((a_n)\), được xác định \(\begin{cases} a_1 = 3 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n, n \geq 1 \end{cases}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{93}{16}\)
B. \(a_{10} = \frac{3}{512}\)
C. \(a_{n+1} + a_n = \frac{9}{2^n}\)
D. \(a_n = \frac{3}{2^n}\)
Câu 25. Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
A. \(1; 1; 1; 1; 1; 1; ...\)
B. \(1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{16}\)
C. \(1; 3; 5; 7; 9; ...\)
D. \(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...\)
Câu 26. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng quát \(u_n\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A. \(u_n = \frac{1}{2^n}\)
B. \(u_n = \frac{1}{n}\)
C. \(u_n = \frac{n+5}{3n+1}\)
D. \(u_n = \frac{2n-1}{n+1}\)
Câu 27. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng quát \(u_n\) sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A. \(u_n = \frac{2}{3^n}\)
B. \(u_n = \frac{3}{n}\)
C. \(u_n = 2^n\)
D. \(u_n = (-2)^n\)
Câu 28. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng quát \(u_n\) sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. \(u_n = \frac{1}{2^n}\)
B. \(u_n = \frac{3n-1}{n+1}\)
C. \(u_n = n^2\)
D. \(u_n = \sqrt{n+2}\)
Câu 29. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng quát \(u_n\) sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. \(u_n = \sin x\)
B. \(u_n = \frac{n^2+1}{n}\)
C. \(u_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}\)
D. \(u_n = (-1)^n \cdot (2^n + 1)\)
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số \(u_n = \frac{1}{n} - 2\) là dãy tăng.
B. Dãy số \(u_n = (-1)^n (2^n + 1)\) là dãy giảm.
C. Dãy số \(u_n = \frac{n-1}{n+1}\) là dãy giảm.
D. Dãy số \(u_n = 2n + \cos\frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Dãy số \(u_n = \frac{1-n}{\sqrt{n}}\) là dãy giảm.
B. Dãy số \(u_n = 2n^2 - 5\) là dãy tăng.
C. Dãy số \(u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) là dãy giảm.
D. Dãy số \(u_n = n + \sin^2 n\) là dãy tăng.
Câu 32. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(\frac{3n-1}{3n+1}\). Dãy số \((u_n)\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 1
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 0
Câu 33. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng tổng quát \(u_n\) sau, dãy số nào bị chặn trên?
A. \(u_n = n^2\)
B. \(u_n = 2^n\)
C. \(u_n = \frac{1}{n}\)
D. \(u_n = \sqrt{n+1}\)
Câu 34. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \cos n + \sin n\). Dãy số \((u_n)\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
A. 0
B. 1
C. \(\sqrt{2}\)
D. Không bị chặn dưới
Câu 35. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \sin n - \cos n\). Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?
A. 0
B. -1
C. \(-\sqrt{2}\)
D. Không bị chặn trên.
Câu 36. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = \sqrt{3}\cos n - \sin n\). Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số \(m\) và \(M\) nào dưới đây?
A. \(m = -2; M = 2\)
B. \(m = \frac{1}{2}; M = \sqrt{3} + 1\)
C. \(m = -\sqrt{3} + 1; M = \sqrt{3} - 1\)
D. \(m = -\frac{1}{2}; M = \frac{1}{2}\)
Câu 37. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n = (-1)^n \cdot 5^{2n+5}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số \((u_n)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số \((u_n)\) bị chặn.
D. Dãy số \((u_n)\) không bị chặn.
Câu 38. Cho dãy số \((u_n)\), với \(u_n = \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n+3)}, \forall n = 1; 2; 3;...\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số \((u_n)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số \((u_n)\) bị chặn.
D. Dãy số \((u_n)\) không bị chặn.
Câu 39. Cho dãy số \((u_n)\), với \(u_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}, \forall n = 2; 3; 4;...\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số \((u_n)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số \((u_n)\) bị chặn.
D. Dãy số \((u_n)\) không bị chặn.
Câu 40. Trong các dãy số \((u_n)\) sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
A. \(u_n = \sqrt{n^2 + 1}\)
B. \(u_n = n + \frac{1}{n}\)
C. \(u_n = 2^n + 1\)
D. \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Câu 41. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng tổng quát \(u_n\) sau, dãy số nào bị chặn?
A. \(u_n = \frac{1}{2^n}\)
B. \(u_n = 3^n\)
C. \(u_n = \sqrt{n+1}\)
D. \(u_n = n^2\)
Câu 42. Cho dãy số \((u_n)\), xác định bởi \(\begin{cases} u_1 = 6 \\ u_{n+1} = \sqrt{6+u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\sqrt{6} \leq u_n < \frac{5}{2}\).
B. \(\sqrt{6} \leq u_n > 3\).
C. \(\sqrt{6} \leq u_n < 2\).
D. \(\sqrt{6} \leq u_n \leq 2\sqrt{3}\).
Câu 43. Cho dãy số \((u_n)\), với \(u_n = \sin\frac{\pi}{n+1}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ \(n+1\) của dãy là \(u_{n+1} = \sin\frac{\pi}{n+1}\)
B. Dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn.
C. Dãy số \((u_n)\) là một dãy số tăng.
D. Dãy số \((u_n)\) không tăng không giảm.
Câu 44. Cho dãy số \((u_n)\), với \(u_n = (-1)^n\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.
B. Dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.
C. Dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn.
D. Dãy số \((u_n)\) là dãy số không bị chặn.
Câu 45. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (-5)^n\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(u_4 = 625\)
B. \(u_3 = 125\)
C. \(u_6 = -15625\)
D. \(u_8 = -5^8\)
Câu 46. Cho dãy số \(\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + n^3 \end{cases} (n \geq 1)\), tính số hạng thứ 33 của dãy.
A. 278788
B. 278786
C. 278787
D. 278785
Câu 47. Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 = \sqrt{2}\) và \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\) với mọi \(n \geq 1\). Tìm \(u_{2018}\).
A. \(u_{2018} = \sqrt{2} \cos\frac{\pi}{2^{2017}}\)
B. \(u_{2018} = 2 \cos\frac{\pi}{2^{2019}}\)
C. \(u_{2018} = \sqrt{2} \cos\frac{\pi}{2^{2018}}\)
D. \(u_{2018} = 2\)
Câu 48. Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n = \sin\frac{n\pi}{2}\) với \(n \in \mathbb{N}^*\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(S_{2020} = 0\)
B. \(S_{2019} > 0\)
C. \(S_{2017} < 0\)
D. \(S_{2018} = 0\)
Câu 49. Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 = 2018\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\) với mọi \(n \geq 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \(u_n < \frac{1}{2018}\) bằng
A. 4072326
B. 4072324
C. 4072325
D. 4072327
Câu 50. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
A. \(u_n = n^2\)
B. \(u_n = 2n\)
C. \(u_n = n^3 - 1\)
D. \(u_n = \frac{2n+1}{n-1}\)
Câu 51. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn
A. \(u_n = \frac{2n+1}{n+1}\)
B. \(u_n = 2n + \sin n\)
C. \(u_n = n^2\)
D. \(u_n = n^3 - 1\)
Câu 52. Trong các dãy số \((u_n)\) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn.
A. \(u_n = \sqrt{n^2+1}\)
B. \(u_n = 2^n + 1\)
C. \(u_n = n + \frac{1}{n}\)
D. \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Câu 53. Trong các số hạng tổng quát sau, đâu là số hạng tổng quát của một dãy số giảm?
A. \(u_n = \frac{2n+1}{n}\)
B. \(u_n = n^3 - 1\)
C. \(u_n = n^2\)
D. \(u_n = 2n\)
Câu 54. Dãy số nào sau đây giảm?
A. \(u_n = \frac{n-5}{4n+1}; (n \in \mathbb{N}^*)\)
B. \(u_n = \frac{5-3n}{2n+3}; (n \in \mathbb{N}^*)\)
C. \(u_n = 2n^3 + 3; (n \in \mathbb{N}^*)\)
D. \(u_n = \cos(2n+1); (n \in \mathbb{N}^*)\)
Câu 55. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n+1}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là \(\frac{1}{10}\)
B. Dãy số \((u_n)\) bị chặn.
C. Dãy số \((u_n)\) là một dãy số giảm.
D. Số hạng thứ 10 của dãy số là \(\frac{-1}{11}\).
Câu 56. Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào không phải là dãy đơn điệu?
A. \(u_n = (-1)^{2n+1} \cdot 3^n\)
B. \(u_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)
C. \(u_n = 3n^2 - n^3\)
D. \(u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}\)
Câu 57. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(\begin{cases} u_1 = 0 \\ u_{n+1} = 2u_n + 2, \forall n \geq 1 \end{cases}\). Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để \(u_n > 1024\)
A. 10
B. 12
C. 11
D. 13
Câu 58. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 3^n\). Khi đó, số hạng \(u_{2n-1}\) bằng
A. \(3^n \cdot 3^{n-1}\)
B. \(3^{2n-1} - 1\)
C. \(3^{2n} - 1\)
D. \(3^2 \cdot 3^n - 1\)
Câu 59. Cho dãy số \(u_n = (-1)^n\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. Bị chặn.
B. Dãy số tăng.
C. Dãy số giảm.
D. Không bị chặn.
Câu 60. Cho dãy số có công thức tổng quát là \(u_n = 2^n\) thì số hạng thứ \(n+3\) là
A. \(u_{n+3} = 2^3\)
B. \(u_{n+3} = 6^n\)
C. \(u_{n+3} = 6.2^n\)
D. \(u_{n+3} = 8.2^n\)
Câu 61. Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(\begin{cases} u_1 = 1, u_2 = 2 \\ u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1} = 3 (n \in \mathbb{N}, n \geq 2) \end{cases}\). Số hạng tổng quát của dãy số có dạng \(u_n = \frac{an^2 + bn + c}{2} (\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3)\). Khi đó \(a+b+c\) bằng
A. 2
B. 16
C. 4
D. 6
Câu 62. Trong các dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n\) dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
A. \(u_n = \sqrt{n^2+2}\)
B. \(u_n = \frac{n}{2n+1}\)
C. \(u_n = 3^n - 1\)
D. \(u_n = n + \frac{2}{n}\)
Câu 63. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n-2}{3n+1}, n \geq 1\). Tìm khẳng định sai.
A. \(u_3 = \frac{1}{10}\)
B. \(u_{10} = \frac{8}{31}\)
C. \(u_{21} = \frac{19}{64}\)
D. \(u_{50} = \frac{47}{150}\)
Câu 64. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = -3, u_{n+1} = u_n + n, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Tìm số hạng thứ 2019.
A. 2037168
B. 2037171
C. 2037176
D. 2035158
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
| 1-A | 2-B | 3-A | 4-C | 5-D | 6-C | 7-A | 8-A | 9-D | 10-A |
| 11-B | 12-B | 13-A | 14-C | 15-C | 16-D | 17-C | 18-B | 19-A | 20-C |
| 21-C | 22-D | 23-B | 24-B | 25-C |