 |
| Sách ID: 2025-TOAN11-HK1-GHCHS |
Tóm tắt Lý thuyết
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) hay \(u_n \to 0\) khi \(n \to +\infty\). Ta nói dãy số \((v_n)\) có giới hạn là \(a\) (hay \(v_n\) dần tới \(a\)) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim_{n \to +\infty} (v_n - a) = 0\).
Kí hiệu: \(\lim_{n \to +\infty} v_n = a\) hay \(v_n \to a\) khi \(n \to +\infty\).
Một vài giới hạn đặc biệt
a) \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\); \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) với k nguyên dương;
b) \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\) nếu \(|q| < 1\);
c) Nếu \(u_n = c\) (c là hằng số) thì \(\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} c = c\).
Chú ý: Từ nay về sau thay cho \(\lim_{n \to +\infty} u_n = a\) ta viết tắt là \(\lim u_n = a\).
Giới hạn dãy số đa thức, căn thức không liên hợp
B1: Đặt k mũ cao nhất làm thừa số chung.
B2: Áp dụng quy tắc sau để tìm giới hạn
Nếu \(\lim u_n = \pm\infty\) và \(\lim v_n = L \ne 0\) thì \(\lim(u_n v_n)\) được cho trong bảng sau:
Giới hạn dãy phân thức hữu tỷ
Giới hạn của \((u_n)\) trong đó \(u_n\) là một phân thức hữu tỉ dạng \(u_n = \frac{P(n)}{Q(n)}\) (trong đó \(P(n)\), \(Q(n)\) là hai đa thức chứa của n).
Để xử lý dạng toán này, ta chia tử và mẫu cho \(n^k\) với \(n^k\) là lũy thừa có số mũ lớn nhất của \(P(n)\) và \(Q(n)\) (hoặc là rút \(n^k\) làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và \(\lim \frac{c}{n^k} = 0(k > 0)\) để tính.
Định lí 1
a) Nếu \(\lim u_n = a\) và \(\lim v_n = b\) thì
- \(\lim(u_n + v_n) = a + b\)
- \(\lim(u_n - v_n) = a - b\)
- \(\lim(u_n \cdot v_n) = a \cdot b\)
- \(\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}\) (nếu \(b \ne 0\)).
b) Nếu \(\lim u_n = a\) và \(u_n \ge 0, \forall n\) thì \(\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{a}\) (\(a \ge 0\))
II. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(+\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\lim u_n = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\).
Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(-\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim(-u_n) = +\infty\)
Kí hiệu: \(\lim u_n = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to +\infty\).
Nhận xét: \(u_n = +\infty \Leftrightarrow \lim(-u_n) = -\infty\).
Một vài giới hạn đặc biệt
a) \(\lim n^k = +\infty\) với k nguyên dương.
b) \(\lim q^n = +\infty\) nếu \(q > 1\).
Định lí 2
a) Nếu \(\lim u_n = a\) và \(\lim v_n = \pm\infty\) thì \(\lim \frac{u_n}{v_n} = 0\).
b) Nếu \(\lim u_n = a > 0\), \(\lim v_n = 0\) và \(v_n > 0, \forall n\) thì \(\lim \frac{u_n}{v_n} = +\infty\).
c) Nếu \(\lim u_n = +\infty\) và \(\lim v_n = a > 0\) thì \(\lim u_n \cdot v_n = +\infty\).
III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số \(f\) xác định trên khoảng \((x_0; b)\), (\(x_0 \in R\)). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến \(x_0\) (hoặc tại điểm \(x_0\)) nếu với mọi dãy số bất kì \((x_n)\) những số thuộc khoảng \((x_0; b)\) mà \(\lim x_n = x_0\) ta đều có \(\lim f(x_n) = L\). Khi đó ta viết \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L\) hoặc \(f(x) \to L\) khi \(x \to x_0^+\).
Giả sử hàm số \(f\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\), (\(x_0 \in R\)). Ta nói rằng hàm số \(f\) có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến \(x_0\) (hoặc tại điểm \(x_0\)) nếu với mọi dãy bất kì \((x_n)\) những số thuộc khoảng \((a; x_0)\) mà \(\lim x_n = x_0\) ta đều có \(\lim f(x_n) = L\). Khi đó ta viết \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\) hoặc \(f(x) \to L\) khi \(x \to x_0^-\).
Các định nghĩa \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty\) và \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty\) được phát biểu tương tự.
Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay \(x \to x_0\) bởi \(x \to x_0^-\) hoặc \(x \to x_0^+\).
\(\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\)
Giới hạn của hàm số lượng giác
- Định lý kẹp chặt.
Nếu \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) và \(\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L\) thì \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\).
- Giới hạn hàm lượng giác
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Hệ quả: Nếu \(\lim_{x \to x_0} u(x) = 0\) thì \(\lim_{x \to x_0} \frac{\sin(au(x))}{au(x)} = 1\)
- Tìm giới hạn của hàm số lượng giác có dạng \(\frac{0}{0}\) ta làm như sau:
- Biến đổi tổng thành tích
- Biến đổi để áp dụng giới hạn \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Khử dạng vô định – Giới hạn một bên
- Nếu giới hạn là hàm phân thức hữu tỉ thì ta phân tích thành nhân tử rồi khử dạng vô định.
- Nếu giới hạn chứa dấu giá trị tuyệt đối thì ta khai triển bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi khử dạng vô định.
- Nếu giới hạn chứa căn thức thì ta nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Giới hạn tại điểm có kết quả là vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích \(f(x) \cdot g(x)\)
Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)
Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức
Quy tắc tìm giới hạn tại vô cực
Cho \(\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty\); \(\lim_{x \to x_0} g(x) = L \ne 0\). Ta có:
Phương pháp tìm giới hạn tại vô cực của hàm đa thức
\(\lim_{x \to \pm\infty} (a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0)\) (\(n \in N^*\))
Bước 1: Rút x có lũy thừa bậc cao nhất ra làm nhân tử chung.
\(\lim_{x \to \pm\infty} (a_n x^n + \dots + a_0) = \lim_{x \to \pm\infty} x^n (a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n})\)
Bước 2: Tìm các giới hạn
+ \(\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty\)
+ \(\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty\) nếu n là số tự nhiên chẵn ;
+ \(\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty\) nếu n là số tự nhiên lẻ.
+ \(\lim_{x \to \pm\infty} (a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \frac{a_{n-2}}{x^2} + \dots + \frac{a_0}{x^n}) = a_n\).
Bước 3: Áp dụng quy tắc tìm giới hạn tại vô cực suy ra kết quả.
Giới hạn tại vô cực của hàm phân thức
Tính \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\) khi \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\), trong đó \(f(x)\), \(g(x)\) là các đa thức.
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho \(x^n\) với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu thức.
Xét hàm số \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của \(f(x), g(x)\) lần lượt là \(a, b\).
• Nếu bậc cao nhất của \(f(x)\) lớn hơn bậc cao nhất của \(g(x)\) thì \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty\).
• Nếu bậc cao nhất của \(f(x)\) bằng bậc cao nhất của \(g(x)\) thì \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}\).
• Nếu bậc cao nhất của \(f(x)\) nhỏ hơn bậc cao nhất của \(g(x)\) thì \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\).
Hàm số liên tục trên khoảng hay đoạn
Để xét sự liên tục của hàm số \(f\) trên khoảng, ta áp dụng định nghĩa hoặc áp dụng định lý:
1. Nếu hai hàm số \(f\) và \(g\) liên tục tại điểm \(x_0\) thì các hàm số \(f \pm g, fg, cf\) (c là một hằng số) đều liên tục tại điểm \(x_0\).
2. Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Bài tập Trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \((a;b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \([a ; b]\) là
A. \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^+} f(x) = f(b)\).
B. \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\).
C. \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\).
D. \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^+} f(x) = f(b)\).
Câu 2: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \([a ; b]\). Tìm mệnh đề đúng.
A. Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a; b]\) và \(f(a)f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \((a;b)\).
B. Nếu \(f(a)f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((a;b)\).
C. Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục, tăng trên \([a; b]\) và \(f(a)f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \((a;b)\).
D. Nếu phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm trong khoảng \((a;b)\) thì hàm số \(f(x)\) phải liên tục trên \((a;b)\).
Câu 3: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu \(f(a) \cdot f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm nằm trong \((a;b)\).
B. Nếu \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \((a;b)\).
C. Nếu \(f(a) \cdot f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \((a;b)\).
D. Nếu phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \((a;b)\) thì \(f(a) \cdot f(b) < 0\).
Câu 4: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 2}(3x^2 + 7x + 11)\) là:
A. 37.
B. 38.
C. 39.
D. 40.
Câu 5: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to \sqrt{3}} |x^2 - 4|\) là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 6: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x^2}\) là:
A. \(\sin \frac{1}{2}\)
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. 0.
Câu 7: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 3}{x^3 + 2}\) là:
A. 1.
B. -2.
C. 2.
D. \(-\frac{3}{2}\)
Câu 8: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{x - x^3}{(2x - 1)(x^4 - 3)}\) là:
A. 1.
B. -2.
C. 0.
D. \(-\frac{3}{2}\)
Câu 9: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -1} \frac{|x - 1|}{x^2 + x - 3}\) là:
A. \(-\frac{3}{2}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(-\frac{2}{3}\)
Câu 10: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3x^2 + 1} - x}{x - 1}\) là:
A. \(-\frac{3}{2}\)
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 11: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1/3} \frac{9x^2 - x}{(2x - 1)(x^2 - 3)}\) là:
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(\sqrt{5}\).
C. \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
D. 5.
Câu 12: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 2x}\) là:
A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Câu 13: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{3x^2 - 4} - \sqrt{3x - 2}}{x + 1}\) là:
A. \(-\frac{3}{2}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. 0.
D. \(+\infty\).
Câu 14: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (x - x^2 + 1)\) là:
A. 1.
B. \(-\infty\).
C. 0.
D. \(+\infty\).
Câu 15: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to \infty} (|x^3| + 2x^2 + 3|x|)\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. 1.
D. \(-\infty\).
Câu 16: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} + x)\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(\sqrt{2} - 1\).
D. \(-\infty\).
Câu 17: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{3x^2 - 1} + \sqrt{x^2 + 2})\) là:
A. \(\sqrt{3} + 1\).
B. \(+\infty\).
C. \(\sqrt{3} - 1\).
D. \(-\infty\).
Câu 18: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{4x^2 + 7x} + 2x)\) là:
A. 4.
B. \(-\infty\).
C. 6.
D. \(+\infty\).
Câu 19: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. 3.
D. Không xác định.
Câu 20: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -1} \frac{x^5 + 1}{x^3 + 1}\) là:
A. \(-\frac{3}{5}\)
B. \(\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(-\frac{5}{3}\)
Câu 21: Biết rằng \(\lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{2x^3 + 6\sqrt{3}}{3 - x^2} = a\sqrt{3} + b\). Tính \(a^2 + b^2\).
A. 9.
B. 25.
C. 5.
D. 13.
Câu 22: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - x + 6}{|x^2 + 3x|}\) là:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Câu 23: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{\sqrt{27 - x^3}}\) là:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 0.
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Câu 24: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + p^{21})\sqrt{1 - 2x} - p^{21}}{x}\) là:
A. \(-\frac{2p^{21}}{7}\)
B. \(-\frac{2p^{21}}{9}\)
C. \(-\frac{2p^{21}}{5}\)
D. \(\frac{1 - 2p^{21}}{7}\)
Câu 25: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x}}{x^2}\) là:
A. 0.
B. \(-\infty\).
C. 1.
D. \(+\infty\).
Câu 26: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{4x + 4} - 2}\) là:
A. -1.
B. 0.
C. 1.
D. \(+\infty\).
Câu 27: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{1+x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}\) là:
A. \(\frac{5}{6}\)
B. \(\frac{13}{12}\)
C. \(\frac{11}{12}\)
D. \(-\frac{13}{12}\)
Câu 28: Biết rằng \(b > 0, a+b=5\) và \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+1} - \sqrt[3]{bx+1}}{x} = 2\). Khẳng định nào dưới đây sai?
A. \(1 < a < 3\).
B. \(b > 1\).
C. \(a^2 + b^2 > 10\).
D. \(a - b < 0\).
Câu 29: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 6x + 3}\) là:
A. -2.
B. \(+\infty\).
C. 3.
D. 2.
Câu 30: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 + 5x^2 - 3}{x^2 + 6x + 3}\) là:
A. -2.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. 2.
Câu 31: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 - 7x^2 + 11}{3x^6 + 2x^5 - 5}\) là:
A. -2.
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. \(-\infty\).
Câu 32: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{\sqrt{x^2 + 1} - x}\) là:
A. -2.
B. \(+\infty\).
C. 3.
D. -1.
Câu 33: Biết rằng \(\frac{(2 - a)x - 3}{\sqrt{x^2 + 1} - x}\) có giới hạn là \(+\infty\) khi \(x \to +\infty\) (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = a^2 - 2a + 4\).
A. \(P_{min} = 1\).
B. \(P_{min} = 3\).
C. \(P_{min} = 4\).
D. \(P_{min} = 5\).
Câu 34: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - x + 1}}{x + 1}\) là:
A. -2.
B. -1.
C. 2.
D. \(+\infty\).
Câu 35: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + 2 - x}{\sqrt{9x^2 - 3x} + 2x}\) là:
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. \(-\frac{1}{5}\)
Câu 36: Biết rằng \(L = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + 2 - x}{\sqrt{ax^2 - 3x} + bx} > 0\) là hữu hạn (với a, b là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng.
A. \(a^3 > 0\).
B. \(L = -\frac{3}{a + b}\)
C. \(L = \frac{3}{b - \sqrt{a}}\)
D. \(b > 0\).
Câu 37: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^3 + 2x^2 + 1}}{\sqrt{2x^2 + 1}}\) là:
A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B. 0.
C. \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
D. 1.
Câu 38: Tìm tất cả các giá trị của a để \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2x^2 + 1} + ax)\) là \(+\infty\).
A. \(a > \sqrt{2}\).
B. \(a < \sqrt{2}\).
C. \(a > 2\).
D. \(a < 2\).
Câu 39: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (2x^3 - x^2)\) là:
A. 1.
B. \(+\infty\).
C. -1.
D. \(-\infty\).
Câu 40: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 2} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^2 - 4})\) là:
A. \(-\infty\).
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. 1.
Câu 41: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 2^+} \frac{x - 15}{x - 2}\) là:
A. \(-\infty\).
B. \(+\infty\).
C. \(-\frac{15}{2}\)
D. 1.
Câu 42: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}}\) là:
A. \(-\infty\).
B. \(+\infty\).
C. \(-\frac{15}{2}\)
D. Không xác định.
Câu 43: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to (-2)^+} \frac{3x + 6}{x + 2}\) là:
A. \(-\infty\).
B. 3.
C. \(+\infty\).
D. Không xác định.
Câu 44: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{|2 - x|}{2x^2 - 5x + 2}\) là:
A. \(-\infty\).
B. \(+\infty\).
C. \(-\frac{1}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Câu 45: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -3^+} \frac{x^2 + 13x + 30}{\sqrt{(x + 3)(x^2 + 5)}}\) là:
A. -2.
B. 2.
C. 0.
D. \(\frac{2}{\sqrt{15}}\)
Câu 46: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{\sqrt{1-x}} & \text{khi } x < 1 \\ \sqrt{3x^2+1} & \text{khi } x \ge 1 \end{cases}\). Khi đó \(\lim_{x \to 1} f(x)\) là:
A. \(+\infty\).
B. 2.
C. 4.
D. \(-\infty\).
Câu 47: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+1}{1-x} & \text{khi } x < 1 \\ \sqrt{2x-2} & \text{khi } x \ge 1 \end{cases}\). Khi đó \(\lim_{x \to 1} f(x)\) là:
A. \(+\infty\).
B. -1.
C. 0.
D. 1.
Câu 48: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} x^2-3 & \text{khi } x \ge 2 \\ x-1 & \text{khi } x < 2 \end{cases}\). Khi đó \(\lim_{x \to 2} f(x)\) là:
A. -1.
B. 0.
C. 1.
D. Không tồn tại.
Câu 49: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x-2}+3}{ax-1} & \text{khi } x \ge 2 \\ ax-1 & \text{khi } x < 2 \end{cases}\). Tìm a để tồn tại \(\lim_{x \to 2} f(x)\).
A. a = 1.
B. a = 2.
C. a = 3.
D. a = 4.
Câu 50: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 3 & \text{khi } x > 3 \\ 1 & \text{khi } x = 3 \\ 3-2x^2 & \text{khi } x < 3 \end{cases}\). Khẳng định nào dưới đây sai?
A. \(\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6\).
B. Không tồn tại \(\lim_{x \to 3} f(x)\).
C. \(\lim_{x \to 3} f(x) = 6\).
D. \(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -15\).
Câu 51: Biết rằng \(a+b=4\) và \(\lim_{x \to 1} (\frac{a}{1-x} - \frac{b}{1-x^3})\) hữu hạn. Tính giới hạn \(L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1-x^3} - \frac{a}{1-x})\).
A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. -2.
Câu 52: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{1+2x^2} - x)\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(\sqrt{2}-1\).
D. \(-\infty\).
Câu 53: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x)\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\infty\).
Câu 54: Biết rằng \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{5x^2+2x} + x\sqrt{5}) = a\sqrt{5}+b\). Tính \(S=5a+b\).
A. S = 1.
B. S = -1.
C. S = 5.
D. S = -5.
Câu 55: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x} - \sqrt{x^2+4x})\) là:
A. \(\frac{7}{2}\)
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(+\infty\).
D. \(-\infty\).
Câu 56: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{3x^2-1} + \sqrt{x^2+2})\) là:
A. \(\sqrt{3}+1\).
B. \(+\infty\).
C. \(\sqrt{3}-1\).
D. \(-\infty\).
Câu 57: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x-x^2})\) là:
A. \(\frac{5}{6}\)
B. \(+\infty\).
C. -1.
D. \(-\infty\).
Câu 58: Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x-1} - \sqrt{2x+1})\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. -1.
D. \(-\infty\).
Câu 59: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})\) là:
A. \(-\infty\).
B. -1.
C. 0.
D. \(+\infty\).
Câu 60: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 2^+} (x-2)\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\) là:
A. 1.
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. \(-\infty\).
Câu 61: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} x\sqrt{\frac{2x+1}{3x^3+x^2+2}}\) là:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).
C. \(+\infty\).
D. \(-\infty\).
Câu 62: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 0} x^2(\sin px - \frac{1}{x^2})\) là:
A. 0.
B. -1.
C. p.
D. \(+\infty\).
Câu 63: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to (-1)^-} (x^3+1)\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}\) là:
A. 3.
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. \(-\infty\).
Câu 64: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{-3}{4n^2 - 2n + 1}\) là:
A. \(-\frac{3}{4}\)
B. \(-\infty\).
C. 0.
D. -1.
Câu 65: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{3n^3 - 2n + 1}{4n^2 + 2n + 1}\) là:
A. \(+\infty\).
B. 0.
C. \(\frac{2}{7}\)
D. \(\frac{3}{4}\)
Câu 66: Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) có \(u_n = \frac{1}{n+1}\) và \(v_n = \frac{2}{n+2}\). Khi đó \(\lim \frac{v_n}{u_n}\) có giá trị bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 67: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{an+4}{5n+3}\) trong đó a là tham số thực. Để dãy số \((u_n)\) có giới hạn bằng 2, giá trị của a là:
A. a = 10.
B. a = 8.
C. a = 6.
D. a = 4.
Câu 68: Tính giới hạn \(L = \lim \frac{n^2 + n + 5}{2n^2 + 1}\)
A. \(L = \frac{3}{2}\)
B. \(L = \frac{1}{2}\)
C. L = 2.
D. L = 1.
Câu 69: Tính giới hạn \(L = \lim \frac{n^2 - 3n^3}{2n^3 + 5n - 2}\)
A. \(L = -\frac{3}{2}\)
B. \(L = \frac{1}{5}\)
C. \(L = \frac{1}{2}\)
D. L = 0.
Câu 70: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để \(L = \lim \frac{5n^2 - 3an^2}{(1-a)n^2 + 2n + 1} > 0\).
A. \(a \le 0; a \ge 1\).
B. \(0 < a < 1\).
C. \(a < 0; a > 1\).
D. \(0 \le a < 1\).
Câu 71: Tính giới hạn \(L = \lim \frac{(2n - n^3)(3n^2 + 1)}{(2n - 1)(n^4 - 7)}\)
A. \(L = -\frac{3}{2}\)
B. L = 1.
C. L = 3.
D. \(L = +\infty\).
Câu 72: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{n^3 - 2n}{1 - 3n^3}\) là:
A. \(-\frac{1}{3}\)
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. \(\frac{2}{3}\)
Câu 73: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{2n + 3n^3}{4n^2 + 2n + 1}\) là:
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(+\infty\).
C. 0
D. \(\frac{5}{7}\)
Câu 74: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{3n - n^4}{4n - 5}\) là:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. \(\frac{3}{4}\)
Câu 75: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
A. \(\lim \frac{3+2n^3}{2n^2-1}\)
B. \(\lim \frac{2n^2-3}{2n^3-4}\)
C. \(\lim \frac{2n-3n^3}{2n^2-1}\)
D. \(\lim \frac{2n^2-3n^3}{2n^3+n^2}\)
Câu 76: Dãy số nào sau đây có giới hạn là \(-\frac{1}{3}\)?
A. \(u_n = \frac{1+2n}{5n+5n^2}\)
B. \(u_n = \frac{n^3+2n-1}{-n-3n^3}\)
C. \(u_n = \frac{2n^2-3n^4}{n^2+2n^3}\)
D. \(u_n = \frac{n^2-2n}{5n+1}\)
Câu 77: Tính giới hạn \(L = \lim (3n^2 + 5n - 3)\).
A. L = 3.
B. \(L = -\infty\).
C. L = 5.
D. \(L = +\infty\).
Câu 78: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng \((-10;10)\) để \(L = \lim (5n - 3(a^2 - 2)n^3) = -\infty\).
A. 17.
B. 3.
C. 5.
D. 10.
Câu 79: Tính giới hạn \(\lim (3n^4 + 4n^2 - n + 1)\).
A. L = 7.
B. \(L = -\infty\).
C. L = 3.
D. \(L = +\infty\).
Câu 80: Giá trị của giới hạn \(\lim (\sqrt{n+5} - \sqrt{n+1})\) bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 5.
Câu 81: Giá trị của giới hạn \(\lim (\sqrt{n^2 - 1} - \sqrt{3n^2 + 2})\) là:
A. -2.
B. 0.
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 82: Giá trị của giới hạn \(\lim (\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n})\) là:
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. \(+\infty\).
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị của a để \(\lim (\sqrt{n^2 + a^2n} - \sqrt{n^2 + (a+2)n + 1}) = 0\).
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Câu 84: Giá trị của giới hạn \(\lim (\sqrt{2n^2 - n + 1} - \sqrt{2n^2 - 3n + 2})\) là:
A. 0.
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 85: Giá trị của giới hạn \(\lim (\sqrt{n^2 + 2n - 1} - \sqrt{2n^2 + n})\) là:
A. 1.
B. \(1-\sqrt{2}\).
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 86: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa \(\lim(\sqrt{n^2 - 8n} - n + a^2) = 0\).
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số.
Câu 87: Giá trị của giới hạn \(\lim(\sqrt{n^2 - 2n + 3} - n)\) là:
A. -1.
B. 0.
C. 1.
D. \(+\infty\).
Câu 88: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \sqrt{n^2 + an + 5} - \sqrt{n^2 + 1}\), trong đó a là tham số thực. Tìm a để \(\lim u_n = -1\).
A. 3.
B. 2.
C. -2.
D. -3.
Câu 89: Giá trị của giới hạn \(\lim(\sqrt{n^3 + 1} - \sqrt{n^3 + 2})\) bằng:
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
Câu 90: Giá trị của giới hạn \(\lim(\sqrt[3]{n^3 - 2n^2} - n)\) bằng:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. 0.
D. 1.
Câu 91: Giá trị của giới hạn \(\lim \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})\) là:
A. -1.
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. 1.
Câu 92: Giá trị của giới hạn \(\lim \sqrt[n]{n}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-3})\) bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. \(+\infty\).
Câu 93: Giá trị của giới hạn \(\lim \sqrt[n]{n}(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+n-6})\) là:
A. \(\sqrt{7}-1\).
B. 3.
C. \(\frac{7}{2}\)
D. \(+\infty\).
Câu 94: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{1}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+4}}\) là:
A. 1.
B. 0.
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 95: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2}\) là:
A. 1.
B. 0.
C. 3.
D. \(+\infty\).
Câu 96: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{1}{\sqrt[3]{n^3+1}-n}\) là:
A. 2.
B. 0.
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 97: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{2-5^{n+2}}{3^n+2 \cdot 5^n}\) bằng:
A. \(-\frac{25}{2}\)
B. \(\frac{5}{2}\)
C. 1.
D. \(-\frac{5}{2}\)
Câu 98: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{3^n-1}{2^n-2 \cdot 3^n+1}\) bằng:
A. -1.
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 99: Biết rằng \(\lim (\frac{(\sqrt{5})^n - 2^{n+1} + 1}{5 \cdot 2^n + (\sqrt{5})^{n+1} - 3} + \frac{2n^2+3}{n^2-1}) = \frac{a\sqrt{5}}{b} + c\) với \(a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a^2+b^2+c^2\).
A. S = 26.
B. S = 30.
C. S = 21.
D. S = 31.
Câu 100: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{p^n+3^n+2^{2n}}{3p^n-3^n+2^{2n+2}}\) là:
A. 1.
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(+\infty\).
D. \(\frac{1}{4}\)
Câu 101: Kết quả của giới hạn \(\lim \sqrt[n]{3^n - \sqrt{5}^n}\) là:
A. 3.
B. \(-\sqrt{5}\).
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 102: Kết quả của giới hạn \(\lim(3^4 \cdot 2^{n+1} - 5 \cdot 3^n)\) là:
A. \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
B. -1.
C. \(-\infty\).
D. \(\frac{1}{3}\)
Câu 103: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{3^n - 4 \cdot 2^{n+1} - 3}{3 \cdot 2^n + 4^n}\) là:
A. 0.
B. 1.
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 104: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{2^{n+1} + 3n + 10}{3n^2 - n + 2}\) là:
A. \(+\infty\).
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{5}{2}\)
D. \(-\infty\).
Câu 105: Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc \((0;2018)\) để \(\lim \sqrt[n]{\frac{4^n+2^{n+1}}{3^n+4^{n+a}}} \le \frac{1}{1024}\).
A. 2007.
B. 2008.
C. 2017.
D. 2016.
Câu 106: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{\sqrt[3]{8n^3+2n} + (-1)^n \frac{n}{3^n}}{3n-1}\) bằng:
A. \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
B. -1.
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{3}\)
Câu 107: Kết quả của giới hạn \(\lim \frac{\sqrt{3n} + (-1)^n \cos 3n}{\sqrt{n}-1}\) bằng:
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(\sqrt{3}\).
C. \(\sqrt{5}\).
D. -1.
Câu 108: Kết quả của giới hạn \(\lim \sqrt{2 \cdot 3^n - n + 2}\) là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. \(+\infty\).
Câu 109: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2, tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng \(\frac{9}{4}\). Số hạng đầu \(u_1\) của cấp số nhân đó là:
A. \(u_1 = 3\).
B. \(u_1 = 4\).
C. \(u_1 = \frac{9}{2}\)
D. \(u_1 = 5\).
Câu 110: Tính tổng \(S = 9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^{n-3}} + \dots\)
A. \(S = \frac{27}{2}\)
B. S = 14.
C. S = 16.
D. S = 15.
Câu 111: Tính tổng \(S = \sqrt{2}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots)\).
A. \(S = \sqrt{2} + 1\).
B. S = 2.
C. \(S = 2\sqrt{2}\).
D. \(S = \frac{1}{2}\)
Câu 112: Tính tổng \(S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots + \frac{2^n}{3^n} + \dots\)
A. S = 3.
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = 6.
Câu 113: Tổng của cấp số nhân vô hạn \(\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \dots, \frac{(-1)^{n+1}}{2 \cdot 3^{n-1}}, \dots\) bằng:
A. \(\frac{3}{4}\)
B. \(\frac{3}{8}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{3}{8}\)
Câu 114: Tính tổng \(S = ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) + ( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ) + \dots + ( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} ) + \dots\)
A. 1.
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 115: Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{1+a+a^2+\dots+a^n}{1+b+b^2+\dots+b^n}\) (\(|a|<1 b="" ng:="" p="">
A. 0.
B. \(\frac{1-b}{1-a}\)
C. \(\frac{1-a}{1-b}\)
D. Không tồn tại.
Câu 116: Rút gọn \(S = 1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \dots + \cos^{2n} x + \dots\) với \(\cos x \ne \pm 1\).
A. \(S = \sin^2 x\).
B. \(S = \cos^2 x\).
C. \(S = \frac{1}{\sin^2 x}\)
D. \(S = \frac{1}{\cos^2 x}\)
Câu 117: Rút gọn \(S = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x - \sin^6 x + \dots + (-1)^n \sin^{2n} x + \dots\) với \(\sin x \ne \pm 1\).
A. \(S = \sin^2 x\).
B. \(S = \cos^2 x\).
C. \(S = \frac{1}{1+\sin^2 x}\)
D. \(S = \tan^2 x\).
Câu 118: Thu gọn \(S = 1 - \tan a + \tan^2 a - \tan^3 a + \dots\) với \(0 < a < \frac{\pi}{4}\).
A. \(S = \frac{1}{1-\tan a}\)
B. \(S = \frac{\cos a}{\sqrt{2} \sin(a + \frac{\pi}{4})}\)
C. \(S = \frac{\tan a}{1+\tan a}\)
D. \(S = \tan^2 a\).
Câu 119: Cho m, n là các số thực thuộc \((-1;1)\) và các biểu thức: \(M = 1+m+m^2+\dots\), \(N = 1+n+n^2+\dots\), \(A=1+mn+m^2n^2+\dots\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(A = \frac{MN}{M+N-1}\)
B. \(A = \frac{MN}{M+N+1}\)
C. \(A = \frac{1}{M} + \frac{1}{N} - \frac{1}{MN}\)
D. \(A = \frac{1}{M} + \frac{1}{N} + \frac{1}{MN}\)
Câu 120: Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,5111\dots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính tổng \(T = a+b\).
A. 17.
B. 68.
C. 133.
D. 137.
Câu 121: Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(A = 0,353535\dots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính \(T=ab\).
A. 3456.
B. 3465.
C. 3645.
D. 3546.
Câu 122: Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(B = 5,231231\dots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tính \(T=a-b\).
A. 1409.
B. 1490.
C. 1049.
D. 1940.
Câu 123: Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,17232323\dots\) được biểu diễn bởi phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \(a-b > 2^{15}\).
B. \(a-b > 2^{14}\).
C. \(a-b > 2^{13}\).
D. \(a-b > 2^{12}\).
Câu 124: Tính giới hạn: \(\lim \frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{3n^2+4}\)
A. 0.
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. 1.
Câu 125: Tính giới hạn: \(\lim (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)})\)
A. 0.
B. 1.
C. \(\frac{3}{2}\)
D. Không có giới hạn.
Câu 126: Tính giới hạn: \(\lim (\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)})\)
A. 1.
B. 0.
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 2.
Câu 127: Tính giới hạn: \(\lim (\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+2)})\)
A. \(\frac{3}{4}\)
B. 1.
C. 0.
D. \(\frac{2}{3}\)
Câu 128: Tính giới hạn: \(\lim [\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+3)}]\)
A. \(\frac{11}{18}\)
B. 2.
C. 1.
D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 129: Cho dãy \((u_n)\) với \(u_n = \frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. \(\lim u_n = 0\).
B. \(\lim u_n = \frac{1}{2}\).
C. \(\lim u_n = 1\).
D. \(\lim u_n\) không tồn tại.
Câu 130: Tìm giới hạn của dãy: \( \begin{cases} U_1 = \frac{1}{2} \\ U_{n+1} = \frac{1}{2-U_n}, n \in N^* \end{cases} \)
A. 2.
B. 1.
C. \(\sqrt{2}\).
D. Không có giới hạn.
Câu 131: Tìm giới hạn của dãy: \( \begin{cases} U_1 = 5 \\ U_{n+1} = \frac{2+U_n^2}{2U_n}, n \in N^* \end{cases} \)
A. 1.
B. \(\sqrt{2}\).
C. \(\sqrt{3}\).
D. Không có giới hạn.
Câu 132: Tìm giới hạn của dãy: \( \begin{cases} U_1 = \sqrt{2} \\ U_{n+1} = \sqrt{2 \cdot U_n}, n \in N^* \end{cases} \)
A. 2.
B. \(1+\sqrt{2}\).
C. \(\frac{1+\sqrt{7}}{2}\)
D. Không có giới hạn.
Câu 133: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Nếu \(\lim u_n = +\infty\) và \(\lim v_n = a > 0\) thì \(\lim(u_n v_n) = +\infty\).
B. Nếu \(\lim u_n = a \ne 0\) và \(\lim v_n = \pm\infty\) thì \(\lim \frac{u_n}{v_n} = 0\).
C. Nếu \(\lim u_n = a > 0\) và \(\lim v_n = 0\) thì \(\lim \frac{u_n}{v_n} = +\infty\).
D. Nếu \(\lim u_n = a < 0\) và \(\lim v_n = 0\) và \(v_n > 0\) với mọi n thì \(\lim \frac{u_n}{v_n} = -\infty\).
Câu 134: Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn \(P = 2,13131313\dots\)
A. \(P = \frac{212}{99}\)
B. \(P = \frac{213}{100}\)
C. \(P = \frac{211}{100}\)
D. \(P = \frac{211}{99}\)
Câu 135: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là số a (hay \(u_n\) dần tới a) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim_{n \to +\infty} (u_n - a) = 0\).
B. Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(n \to +\infty\) nếu \(u_n\) có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(-\infty\) khi \(n \to +\infty\) nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Câu 136: Cho các dãy số \((u_n), (v_n)\) và \(\lim u_n = a, \lim v_n = +\infty\) thì \(\lim \frac{u_n}{v_n}\) bằng
A. 1.
B. 0.
C. \(-\infty\).
D. \(+\infty\).
Câu 137: Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) \(\lim n^k = +\infty\) với k nguyên dương.
(II) \(\lim q^n = +\infty\) nếu \(|q|<1 p="">
(III) \(\lim q^n = +\infty\) nếu \(q>1\).
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 138: Cho dãy số \((u_n)\) thỏa \(|u_n - 2| < \frac{1}{n^3}\) với mọi \(n \in N^*\). Khi đó
A. \(\lim u_n\) không tồn tại.
B. \(\lim u_n = 1\).
C. \(\lim u_n = 0\).
D. \(\lim u_n = 2\).
Câu 139: Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\lim u_n = c\) (\(u_n = c\) là hằng số).
B. \(\lim q^n = 0 (|q| > 1)\).
C. \(\lim \frac{1}{n} = 0\).
D. \(\lim \frac{1}{n^k} = 0(k > 1)\).
Câu 140: Tính \(L = \lim \frac{n-1}{n^3+3}\)
A. L = 1.
B. L = 0.
C. L = 3.
D. L = 2.
Câu 141: \(\lim \frac{1}{5n+3}\) bằng
A. 0.
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(+\infty\).
D. \(\frac{1}{5}\)
Câu 142: \(\lim \frac{1}{2n+7}\) bằng
A. \(\frac{1}{7}\)
B. \(+\infty\).
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 0.
Câu 143: \(\lim \frac{1}{2n+5}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 0.
C. \(+\infty\).
D. \(\frac{1}{5}\)
Câu 144: \(\lim \frac{1}{5n+2}\) bằng
A. \(\frac{1}{5}\)
B. 0.
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(+\infty\).
Câu 145: Tìm \(I = \lim \frac{7n^2 - 2n^3 + 1}{3n^3 + 2n^2 + 1}\)
A. \(\frac{7}{3}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. 0.
D. 1.
Câu 146: \(\lim \frac{2n^2 - 3}{n^6 + 5n^5}\) bằng:
A. 2.
B. 0.
C. \(-\frac{3}{5}\)
D. -3.
Câu 147: \(\lim \frac{2024}{n}\) bằng
A. \(-\infty\).
B. 0.
C. 1.
D. \(+\infty\).
Câu 148: Tính giới hạn \(L = \lim \frac{2n+1}{2+n-n^2}\) ?
A. \(L = -\infty\).
B. L = -2.
C. L = 1.
D. L = 0.
Câu 149: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. \(u_n = \frac{n^2-2}{5n+3n^2}\)
B. \(u_n = \frac{n^2-2n}{5n+3n^2}\)
C. \(u_n = \frac{1-2n}{5n+3n^2}\)
D. \(u_n = \frac{1-2n^2}{5n+3n^2}\)
Câu 150: Tính \(I = \lim \frac{2n-3}{2n^2+3n+1}\)
A. \(I = -\infty\).
B. I = 0.
C. \(I = +\infty\).
D. I = 1.
Câu 151: Giá trị của \(\lim \frac{2-n}{n+1}\) bằng
A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. 0.
Câu 152: Kết quả của \(\lim \frac{n-2}{3n+1}\) bằng:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(-\frac{1}{3}\)
C. -2.
D. 1.
Câu 153: Tìm giới hạn \(I = \lim \frac{3n-2}{n+3}\)
A. \(I = -\frac{2}{3}\)
B. I = 1.
C. I = 3.
D. \(k \in \mathbb{Z}\).
Câu 154: Giới hạn \(\lim \frac{1-2n}{3n+1}\) bằng?
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. 1.
D. \(-\frac{2}{3}\)
Câu 155: Tính giới hạn \(I = \lim \frac{2n+2024}{3n+2025}\)
A. \(I = \frac{2}{3}\)
B. \(I = \frac{3}{2}\)
C. \(I = \frac{2024}{2025}\)
D. I = 1.
Câu 156: \(\lim \frac{1+19n}{18n+19}\) bằng
A. \(\frac{19}{18}\)
B. \(\frac{1}{18}\)
C. \(+\infty\).
D. \(\frac{1}{19}\)
Câu 157: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
A. \(\frac{1}{n}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{n}}\)
C. \(\frac{n+1}{n}\)
D. \(\frac{\sin n}{\sqrt{n}}\)
Câu 158: \(\lim \frac{1-n^2}{2n^2+1}\) bằng
A. 0.
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 159: Tính giới hạn \(\lim \frac{4n+2026}{2n+1}\)
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 4.
C. 2.
D. 2018.
Câu 160: Tìm \(\lim \frac{8n^5-2n^3+1}{4n^5+2n^2+1}\)
A. 2.
B. 8.
C. 1.
D. 4.
Câu 161: Tính \(\lim \frac{2n+1}{1+n}\) được kết quả là
A. 2.
B. 0.
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 1.
Câu 162: \(\lim \frac{2n^4-2n+2}{4n^4+2n+5}\) bằng
A. \(\frac{2}{11}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(+\infty\).
D. 0.
Câu 163: Giá trị của \(\lim \frac{2n^2-3}{1-2n^2}\) bằng
A. -3.
B. 2.
C. -1.
D. 0.
Câu 164: Giá trị \(A = \lim \frac{n^2+n}{12n^2+1}\) bằng
A. \(\frac{1}{12}\)
B. 0.
C. \(\frac{1}{6}\)
D. \(\frac{1}{24}\)
Câu 165: Tính \(\lim \frac{5n+3}{2n+1}\)
A. 1.
B. \(+\infty\).
C. 2.
D. \(\frac{5}{2}\)
Câu 166: \(\lim \frac{n^3+4n-5}{3n^3+n^2+7}\) bằng
A. 1.
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 167: Tính giới hạn \(\lim \frac{n^2-3n^3}{2n^3+5n-2}\)
A. \(\frac{1}{5}\)
B. 0.
C. \(-\frac{3}{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 168: Giới hạn của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{2n-1}{3-n}, n \in N^*\) là:
A. -2.
B. \(\frac{2}{3}\)
C. 1.
D. \(-\frac{1}{3}\)
Câu 169: Tính giới hạn \(I = \lim \frac{10n+3}{3n-15}\) ta được kết quả:
A. \(I = -\frac{10}{3}\)
B. \(I = \frac{3}{10}\)
C. \(I = \frac{10}{3}\)
D. \(I = -\frac{2}{5}\)
Câu 170: \(\lim \frac{2n+1}{n+1}\) bằng
A. 1.
B. 2.
C. -2.
D. \(+\infty\).
Câu 171: \(\lim \frac{3n^2+1}{n^2-2}\) bằng:
A. 3.
B. 0.
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 172: Tính \(\lim \frac{8n^2+3n-1}{4+5n+2n^2}\)
A. 2.
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. 4.
D. \(-\frac{1}{4}\)
Câu 173: Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) có \(u_n = \frac{1}{n+1}\); \(v_n = \frac{3}{n+3}\). Tính \(\lim \frac{u_n}{v_n}\).
A. 0.
B. 3.
C. \(\frac{1}{3}\)
D. \(+\infty\).
Câu 174: \(\lim_{n \to +\infty} 2^n\) bằng.
A. 2.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. 0.
Câu 175: Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0
A. \(\lim (\frac{2}{3})^n\)
B. \(\lim (\frac{5}{3})^n\)
C. \(\lim (\frac{4}{3})^n\)
D. \(\lim(2)^n\)
Câu 176: \(\lim (\frac{2024}{2025})^n\) bằng.
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(\frac{1}{2}\)
D. 2.
Câu 177: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. \((0,999)^n\)
B. \((-1)^n\)
C. \((-1,0001)^n\)
D. \((1,2345)^n\)
Câu 178: \(\lim \frac{100^{n+1}+3 \cdot 99^n}{10^{2n}-2 \cdot 98^{n+1}}\) là
A. \(+\infty\).
B. 100.
C. \(\frac{1}{100}\)
D. 0.
Câu 179: \(\lim(3^n - 4^n)\) là
A. \(+\infty\).
B. \(-\infty\).
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 1.
Câu 180: Tính giới hạn \(\lim \frac{3 \cdot 2^{n+1} - 2 \cdot 3^{n+1}}{4+3^n}\)
A. \(\frac{3}{2}\)
B. 0.
C. \(\frac{6}{5}\)
D. -6.
Câu 181: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
A. \(\lim \frac{1+2 \cdot 2024^n}{2023^n+2025^n}\)
B. \(\lim \frac{1+2 \cdot 2028^n}{2023^n+2024^{n+1}}\)
C. \(\lim \frac{1+2 \cdot 2025^n}{2024^n+2025^n}\)
D. \(\lim \frac{2 \cdot 2025^{n+1}-2025}{2024^n+2025^n}\)
Câu 182: Tính \(\lim \frac{2^n+1}{2 \cdot 2^n+3}\)
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 183: Cho các giới hạn: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = 2\); \(\lim_{x \to x_0} g(x) = 3\), hỏi \(\lim_{x \to x_0} [3f(x)-4g(x)]\) bằng
A. 5.
B. 2.
C. -6.
D. 3.
Câu 184: Giá trị của \(\lim_{x \to 1} (2x^2 - 3x + 1)\) bằng
A. 2.
B. 1.
C. \(+\infty\).
D. 0.
Câu 185: Tính giới hạn \(L = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x+3}\)
A. \(L=-\infty\).
B. L = 0.
C. \(L=+\infty\).
D. L = 1.
Câu 186: Giá trị của \(\lim_{x \to -1} (3x^2 - 2x + 1)\) bằng:
A. \(+\infty\).
B. 2.
C. 6.
D. 3.
Câu 187: Giới hạn \(\lim_{x \to -1} (x^2 - x + 7)\) bằng?
A. 5.
B. 9.
C. 0.
D. 7.
Câu 188: Giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 3}{x+1}\) bằng?
A. 1.
B. 0.
C. 3.
D. 2.
Câu 189: Tính giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-1}\) ta được kết quả
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 190: \(\lim_{x \to \sqrt{3}} |x^2 - 4|\) bằng
A. -5.
B. 1.
C. 5.
D. -1.
Câu 191: \(\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x+2}\) bằng
A. \(+\infty\).
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(-\infty\).
Câu 192: Tính \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 + 2025}{2x - 1}\)
A. 0.
B. \(-\infty\).
C. \(+\infty\)
D. 2024.
Câu 193: \(\lim_{x \to -2} \frac{|2x+1|-5\sqrt{x^2-3}}{2x+3}\) bằng.
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{7}\)
C. 7.
D. 3.
Câu 194: Tìm giới hạn \(A = \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x^2+x+4}\)
A. \(-\frac{1}{6}\)
B. \(-\infty\).
C. \(+\infty\).
D. 1.
Câu 195: Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng \(+\infty\) ?
A. \(\lim_{x \to 1} \frac{x-3}{(x-1)^2}\)
B. \(\lim_{x \to 1} \frac{x-2}{(x-1)^2}\)
C. \(\lim_{x \to 1} \frac{-x-1}{(x-1)^2}\)
D. \(\lim_{x \to 1} \frac{x+1}{(x-1)^2}\)
Câu 196: Cho \(\lim_{x \to 3} f(x) = -2\). Tính \(\lim_{x \to 3} [f(x)+4x-1]\).
A. 5.
B. 6.
C. 11.
D. 9.
Câu 197: Biểu thức \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}\) bằng
A. 0.
B. \(\frac{2}{\pi}\)
C. \(\frac{\pi}{2}\)
D. 1.
Câu 198: Cho \(I = \lim_{x \to 0} \frac{2(\sqrt{3x+1}-1)}{x}\) và \(J = \lim_{x \to -1} \frac{x^2-x-2}{x+1}\). Tính \(I-J\).
A. 6.
B. 3.
C. -6.
D. 0.
Câu 199: Gọi A là giới hạn của hàm số \(f(x) = \frac{x+x^2+x^3+\dots+x^{50}-50}{x-1}\) khi x tiến đến 1. Tính giá trị của A.
A. A không tồn tại.
B. A = 1725.
C. A = 1527.
D. A = 1275.
Câu 200: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\) là?
A. \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\).
B. \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^+} f(x) = f(b)\).
C. \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^+} f(x) = f(b)\).
D. \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\).
Câu 201: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\).
B. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^5} = +\infty\).
C. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\).
D. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\).
Câu 202: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng \(-\infty\) ?
A. \(\lim_{x \to \infty} \frac{-3x+4}{x-2}\)
B. \(\lim_{x \to 2^-} \frac{-3x+4}{x-2}\)
C. \(\lim_{x \to 2^+} \frac{-3x+4}{x-2}\)
D. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x+4}{x-2}\)
Câu 203: Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là \(+\infty\) ?
A. \(\lim_{x \to 4^-} \frac{2x-1}{4-x}\)
B. \(\lim_{x \to +\infty} (-x^3+2x+3)\)
C. \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x+1}{x-1}\)
D. \(\lim_{x \to 4^+} \frac{2x-1}{4-x}\)
Câu 204: Giới hạn \(\lim_{x \to 1^+} \frac{-2x+1}{x-1}\) bằng
A. \(+\infty\).
B. \(-\infty\).
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Câu 205: \(\lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x-1}\) bằng:
A. \(+\infty\).
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(-\infty\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 206: \(\lim_{x \to (-1)^+} \frac{\sqrt{3x^2+1}-x}{x-1}\) bằng?
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(-\frac{3}{2}\)
Câu 207: Tính \(\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3}\)
A. \(-\frac{1}{6}\)
B. \(-\infty\).
C. 0.
D. \(+\infty\).
Câu 208: Tính \(\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{|x-1|}\)
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. 1.
D. \(-\infty\).
Câu 209: Giới hạn \(\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a}\) bằng:
A. \(-\frac{1}{2a}\)
B. 0.
C. \(+\infty\).
D. \(-\infty\).
Câu 210: Giới hạn \(\lim_{x \to 2^+} (x-2)\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\) bằng:
A. \(+\infty\).
B. 0.
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\infty\).
Câu 211: Tính \(\lim_{x \to 1^+} \frac{-2x+1}{x-1}\) bằng
A. \(+\infty\).
B. \(-\infty\).
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Câu 212: Cho \(\lim_{x \to 2^+} (x-2)\sqrt{\frac{x}{x^2-4}}\). Tính giới hạn đó.
A. \(+\infty\).
B. 1
C. 0.
D. \(-\infty\)
Câu 213: \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1}\) bằng
A. \(+\infty\).
B. \(-\infty\).
C. 1.
D. 0
Câu 214: Tìm \(\lim_{x \to 1^+} \frac{1-2x}{x-1}\)
A. \(-\infty\).
B. -2.
C. 0.
D. \(+\infty\).
Câu 215: Tính giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{|x-1|}\)
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. 1.
Câu 216: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai
A. \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2-x+1}+x-2) = -\frac{3}{2}\).
B. \(\lim_{x \to -1^+} \frac{3x+2}{x+1} = -\infty\).
C. \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2-x+1}+x-2) = +\infty\).
D. \(\lim_{x \to -1^-} \frac{3x+2}{x+1} = +\infty\).
Câu 217: Tìm giới hạn \(\lim_{x \to 1^+} \frac{4x-3}{x-1}\)
A. \(+\infty\).
B. 2.
C. \(-\infty\).
D. -2.
Câu 218: Tính giới hạn \(\lim_{x \to -2} \frac{3+2x}{x+2}\)
A. \(-\infty\).
B. 2.
C. \(+\infty\).
D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 219: Cho hàm số f(x) liên tục trên \((-\infty;-2), (-2;1), (1;+\infty)\), f(x) không xác định tại x = -2 và x=1, f(x) có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.
A. \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty\).
B. \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty\).
C. \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty\).
D. \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty\).
Câu 220: \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x+1}\) bằng
A. 0.
B. -4.
C. -3.
D. 1.
Câu 221: Tính giới hạn bên phải của hàm số \(f(x) = \frac{3x-7}{x-2}\) khi \(x \to 2\).
A. \(-\infty\).
B. 3.
C. \(-\frac{7}{2}\)
D. \(+\infty\).
Câu 222: Cho hàm số \(y = f(x) = \begin{cases} \frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ \frac{1}{8} & \text{khi } x=1 \end{cases}\). Tính \(\lim_{x \to 1} f(x)\).
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(+\infty\).
C. 0.
D. \(-\frac{1}{8}\)
Câu 223: Biết \(\lim_{x \to -1} f(x) = 4\). Khi đó \(\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^4}\) bằng:
A. \(-\infty\).
B. 4.
C. \(+\infty\).
D. 0.
Câu 224: Giả sử ta có \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = a\) và \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = b\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) \cdot g(x)] = a \cdot b\).
B. \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - g(x)] = a - b\).
C. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}\)
D. \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) + g(x)] = a+b\). (Vì có thể b=0)
Câu 225: Chọn kết quả đúng của \(\lim_{x \to \infty} (-4x^5 - 3x^3 + x + 1)\).
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. -4.
Câu 226: Tính giới hạn \(\lim_{x \to \infty} (2x^3 - x^2 + 1)\)
A. \(+\infty\).
B. \(-\infty\).
C. 2.
D. 0.
Câu 227: Giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (3x^3 + 5x^2 - 9\sqrt{2}x - 2025)\) bằng
A. \(-\infty\).
B. 3.
C. -3.
D. \(+\infty\).
Câu 228: Tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x-1}{4x+2}\)
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 1.
C. \(-\frac{1}{4}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 229: Cho bảng biến thiên hàm số: \(y = \frac{3-x}{x-2}\), phát biểu nào sau đây là đúng:
A. a là \(\lim_{x \to +\infty} y\).
B. b là \(\lim_{x \to -\infty} y\).
C. b là \(\lim_{x \to 1^+} y\).
D. a là \(\lim_{x \to -\infty} y\).
Câu 230: \(\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{2x+5}\) bằng:
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 231: \(\lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{3x+2}\) bằng:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(-\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 232: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x+5}\) bằng:
A. 3.
B. -3.
C. \(-\frac{1}{5}\)
D. 5.
Câu 233: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3-4x}{5x+2}\) bằng
A. \(\frac{5}{4}\)
B. \(-\frac{5}{4}\)
C. \(-\frac{4}{5}\)
D. \(\frac{4}{5}\)
Câu 234: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x+8}{x-2}\) bằng
A. -2.
B. 4.
C. -4.
D. 2.
Câu 235: Tính \(L = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x+1}\)
A. L = -2.
B. L = -1.
C. \(L = -\frac{1}{2}\)
D. L = 2.
Câu 236: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{3-x}\) bằng.
A. -2.
B. \(\frac{2}{3}\)
C. 1.
D. 2.
Câu 237: Tính giới hạn \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2025x+3}{2x^2+2025x}\) được.
A. 2025.
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 2.
D. \(\frac{1}{2025}\)
Câu 238: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+3}\) bằng
A. \(-\frac{2}{3}\)
B. 1.
C. 2.
D. -3.
Câu 239: Tính giới hạn \(I = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x-2}{2x+1}\)
A. I = -2.
B. \(I = -\frac{3}{2}\)
C. I = 2.
D. \(I = \frac{3}{2}\)
Câu 240: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2+1}\) bằng.
A. \(-\infty\).
B. 1.
C. \(+\infty\).
D. 0.
Câu 241: \(\lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{3x+2}\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(-\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
Câu 242: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x+5}\) bằng
A. 3.
B. -3.
C. \(-\frac{1}{5}\)
D. 5.
Câu 243: \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{-x+1}\) bằng
A. 2.
B. 4.
C. -1.
D. -4.
Câu 244: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{6x-2}\) bằng
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{6}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. 1.
Câu 245: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{4x+3}\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. 3.
D. 1.
Câu 246: Giới hạn \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x+1}\) bằng
A. 0.
B. \(+\infty\).
C. \(-\infty\).
D. 1.
Câu 247: \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x-3}{x^2+2}\) bằng
A. -2.
B. \(-\frac{3}{2}\)
C. 1.
D. 0.
Câu 248: \(\lim_{x \to \infty} \frac{-x-3}{x+2}\) bằng
A. \(-\frac{3}{2}\)
B. -3.
C. -1.
D. 1.
Câu 249: Tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+3x+5}{2-3x^2}\).
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(+\infty\).
C. \(-\frac{1}{3}\)
D. \(-\frac{2}{3}\)
Câu 250: Giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{5x-3}{1-2x}\) bằng số nào sau đây?
A. \(-\frac{5}{2}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. 5.
D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 251: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+3}\) bằng.
A. \(-\frac{2}{3}\)
B. 1.
C. 2.
D. -3.
Câu 252: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x-5}{-x+3}\) bằng
A. \(-\frac{5}{3}\)
B. -1.
C. 3.
D. -2.
Câu 253: Tìm giới hạn \(L = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x-1}{1-2x}\)
A. L = 3.
B. \(L = -\frac{1}{2}\)
C. \(L = -\frac{3}{2}\)
D. \(L = \frac{3}{2}\)
Câu 254: Tính giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2+2x+3}{x^2+1}\)
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Câu 255: Tìm giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x-3}{1-3x}\) :
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(-\frac{2}{3}\)
C. \(-\frac{3}{2}\)
D. 2.
Câu 256: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x}{x^2-1}\) bằng
A. -2.
B. 1.
C. 2.
D. -1.
Câu 257: Giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x+1}{x}\) bằng
A. \(+\infty\).
B. 1.
C. \(-\infty\).
D. 0.
Câu 258: Tính \(\lim_{x \to 5} \frac{x^2-12x+35}{25-5x}\)
A. \(-\frac{2}{5}\)
B. \(+\infty\).
C. \(\frac{2}{5}\)
D. \(-\infty\).
Câu 259: Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}\) bằng
A. 0.
B. 4.
C. -4.
D. 2.
Câu 260: Tính \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}\) bằng:
A. 3.
B. 6.
C. \(+\infty\).
D. -3.
Câu 261: Tính giới hạn \(I = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x-2}\)
A. I = -1.
B. I = 0.
C. I = 1.
D. I = 5.
Câu 262: Tính giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{x-1}\)
A. 1.
B. -1.
C. 2.
D. -2.
Câu 263: Giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-4}\) bằng
A. 2.
B. 4
C. \(\frac{1}{4}\)
D. 0.
Câu 264: Tính \(L = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+3x-4}{x-1}\)
A. L = -5.
B. L = 0.
C. L = -3.
D. L = 5.
Câu 265: Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ sau:
Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng không liên tục tại điểm x = 0.
B. Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0.
C. Hàm số \(y=f(x)\) liên tục và có đạo hàm tại điểm x = 0.
D. Hàm số \(y=f(x)\) không liên tục và không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Câu 266: Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x=1 ?
A. Hình A
B. Hình B
C. Hình C
D. Hình D
Câu 267: Cho các mệnh đề:
1. Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \((a;b)\) và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì tồn tại \(x_0 \in (a;b)\) sao cho \(f(x_0) = 0\).
2. Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm.
3. Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục, đơn điệu trên \([a;b]\) và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm duy nhất.
A. Có đúng hai mệnh đề sai.
B. Cả ba mệnh đề đều đúng.
C. Cả ba mệnh đề đều sai.
D. Có đúng một mệnh đề sai.
Câu 268: Cho hàm số \(y = \begin{cases} \frac{1-x^3}{1-x} & \text{khi } x < 1 \\ 1 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases}\). Hãy chọn kết luận đúng
A. y liên tục phải tại x=1.
B. y liên tục tại x=1.
C. y liên tục trái tại x=1.
D. y liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Câu 269: Cho hàm số \(y = \begin{cases} \frac{x^2-7x+12}{x-3} & \text{khi } x \ne 3 \\ -1 & \text{khi } x=3 \end{cases}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại \(x_0=3\).
B. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại \(x_0=3\).
C. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại \(x_0=3\).
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại \(x_0=3\).
Câu 270: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2} & \text{khi } x \ne 2 \\ 4 & \text{khi } x=2 \end{cases}\). Chọn mệnh đề đúng?
A. Hàm số liên tục tại x=2.
B. Hàm số gián đoạn tại x=2.
C. f(4)=2.
D. \(\lim_{x \to 2} f(x) = 2\).
Câu 271: Cho hàm số \(f(x) = \frac{2x-1}{x^3-x}\). Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số liên tục tại x=-1.
B. Hàm số liên tục tại x=0.
C. Hàm số liên tục tại x=1.
D. Hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).
Câu 272: Hàm số nào sau đây liên tục tại x=1 :
A. \(f(x) = \frac{x^2+x+1}{x-1}\)
B. \(f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}\)
C. \(f(x) = \frac{x^2+x+1}{x}\)
D. \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\)
Câu 273: Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \(x_0 = -1\).
A. \(y = (x+1)(x^2+2)\).
B. \(y = \frac{2x-1}{x+1}\)
C. \(y = \frac{x}{x-1}\)
D. \(y = \frac{x+1}{x^2+1}\)
Câu 274: Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x=2 ?
A. \(y = \frac{3x-4}{x-2}\)
B. \(y = \sin x\).
C. \(y = x^4-2x^2+1\)
D. \(y = \tan x\).
Câu 275: Hàm số \(y = \frac{x}{x+1}\) gián đoạn tại điểm \(x_0\) bằng?
A. \(x_0 = 2024\).
B. \(x_0 = 1\).
C. \(x_0 = 0\)
D. \(x_0 = -1\).
Câu 276: Cho hàm số \(y = \frac{x-3}{x^2-1}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số không liên tục tại các điểm \(x=\pm 1\).
B. Hàm số liên tục tại mọi x thuộc R.
C. Hàm số liên tục tại các điểm x=-1.
D. Hàm số liên tục tại các điểm x=1.
Câu 277: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R?
A. \(y = x^3-x\).
B. \(y = \cot x\).
C. \(y = \frac{2x-1}{x-1}\)
D. \(y = \sqrt{x^2-1}\).
Câu 278: Cho bốn hàm số \(f_1(x) = 2x^3-3x+1, f_2(x) = \frac{3x+1}{x-2}, f_3(x) = \cos x + 3\) và \(f_4(x) = \log_3 x\). Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập R?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Câu 279: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên R?
A. \(f(x) = \tan x + 5\).
B. \(f(x) = \frac{x^2+3}{5-x}\)
C. \(f(x) = \sqrt{x-6}\).
D. \(f(x) = \frac{x+5}{x^2+4}\)
Câu 280: Tìm m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x+2} & \text{khi } x \ne -2 \\ m & \text{khi } x = -2 \end{cases}\) liên tục tại x=-2
A. m = -4.
B. m = 2.
C. m = 4.
D. m = 0.
Câu 281: Cho hàm số \(y = f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 2m+1 & \text{khi } x = 1 \end{cases}\). Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm \(x_0=1\) là:
A. \(m = -\frac{1}{2}\)
B. m = 2.
C. m = 1.
D. m = 0.
Câu 282: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{x-2} & \text{khi } x \ne 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}\) liên tục tại x=2.
A. m = 3.
B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = 0.
Câu 283: Để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2-3x+1}{2(x-1)} & \text{khi } x \ne 1 \\ m & \text{khi } x = 1 \end{cases}\) liên tục tại x=1 thì giá trị m bằng
A. 0,5.
B. 1,5.
C. 1.
D. 2.
Câu 284: Để hàm số \(y = \begin{cases} x^2+3x+2 & \text{khi } x \le -1 \\ 4x+a & \text{khi } x > -1 \end{cases}\) liên tục tại điểm x=-1 thì giá trị của a là
A. -4.
B. 4.
C. 1.
D. -1.
Câu 285: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 3x+m & \text{khi } x = 1 \end{cases}\) liên tục tại x=1.
A. m = 0.
B. m = 6.
C. m = 4.
D. m = 2.
Câu 286: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ k & \text{khi } x = 1 \end{cases}\). Tìm k để hàm số f(x) liên tục tại x=1.
A. \(k = \frac{1}{2}\)
B. k = -1.
C. k = 1.
D. k = 0.
Câu 287: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} & \text{khi } x \ne 9 \\ a & \text{khi } x = 9 \end{cases}\). Tìm a để hàm số liên tục tại \(x_0=9\).
A. a = 0.
B. \(a = -\frac{1}{6}\)
C. \(a = \frac{1}{6}\)
D. a = 1.
Câu 288: Biết hàm số \(f(x) = \begin{cases} 3x+b & \text{khi } x \le -1 \\ x+a & \text{khi } x > -1 \end{cases}\) liên tục tại x=-1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a = b-2.
B. a = -2-b.
C. a = 2-b.
D. a = b+2.
Câu 289: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2} & \text{khi } x \ne 3 \\ m & \text{khi } x = 3 \end{cases}\). Hàm số đã cho liên tục tại x=3 khi m= ?
A. -1.
B. 1.
C. 4.
D. -4.
Câu 290: Biết hàm số \(f(x) = \begin{cases} ax^2+bx-5 & \text{khi } x \le 1 \\ 2ax-3b & \text{khi } x > 1 \end{cases}\) liên tục tại x=1. Tính giá trị của biểu thức P=a-4b
A. P = -4.
B. P = -5.
C. P = 5.
D. P = 4.
Câu 291: Tìm m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ m-1 & \text{khi } x = 1 \end{cases}\) liên tục tại x=1
A. m = 0.
B. m = -1.
C. m = 1.
D. m = 2.
Câu 292: Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ m^2+m-1 & \text{khi } x=1 \end{cases}\) liên tục tại điểm x=1?
A. 0.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Câu 293: Tìm a để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} & \text{khi } x \ne 2 \\ 2x+a & \text{khi } x = 2 \end{cases}\) liên tục tại x=2?
A. \(-\frac{15}{4}\)
B. \(\frac{15}{4}\)
C. \(-\frac{1}{4}\)
D. 1.
Câu 294: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{\sqrt{x+2}-2} & \text{khi } x > 2 \\ m^2x-4m+6 & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\), m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đã cho liên tục tại x=2?
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1
Câu 295: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{3x^2+2x-1}-2}{x^2-1} & x \ne 1 \\ 4-m & x=1 \end{cases}\). Hàm số f(x) liên tục tại \(x_0=1\) khi
A. m = 3.
B. m = -3.
C. m = 7.
D. m = -7.
Câu 296: Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1} & \text{khi } x < -1 \\ mx+2 & \text{khi } x \ge -1 \end{cases}\) liên tục tại x=-1.
A. \(m = -\frac{3}{2}\)
B. \(m = -\frac{5}{2}\)
C. \(m = \frac{3}{2}\)
D. \(m = \frac{5}{2}\)
Câu 297: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2} & \text{khi } x \ne 0 \\ 2a-\frac{5}{4} & \text{khi } x=0 \end{cases}\). Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) liên tục tại x=0.
A. \(a = -\frac{3}{4}\)
B. \(a = \frac{4}{3}\)
C. \(a = -\frac{4}{3}\)
D. \(a = \frac{3}{4}\)
Câu 298: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} x^2-2x+3 & \text{khi } x \ne 1 \\ 3x+m-1 & \text{khi } x=1 \end{cases}\). Tìm m để hàm số liên tục tại \(x_0=1\).
A. m = 1.
B. m = 3.
C. m = 0.
D. m = 2.
Câu 299: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-2} & \text{khi } x \ne 2 \\ a & \text{khi } x=2 \end{cases}\). Hàm số liên tục tại x=2 khi a bằng
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. -1.
Câu 300: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2} & \text{khi } x \ne 3 \\ mx+2 & \text{khi } x=3 \end{cases}\). Hàm số liên tục tại điểm x=3 khi m bằng:
A. -2.
B. 4.
C. -4.
D. 2.
Câu 301: Tìm m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-16}{x-4} & \text{khi } x > 4 \\ mx+1 & \text{khi } x \le 4 \end{cases}\) liên tục tại điểm x=4.
A. \(m = \frac{7}{4}\)
B. m = 8.
C. \(m = -\frac{7}{4}\)
D. m = -8.
Câu 302: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-2x}{x-2} & \text{khi } x > 2 \\ mx-4 & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\) liên tục tại x=2.
A. m = 3.
B. m = 2.
C. m = -2.
D. Không tồn tại m.
Câu 303: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+3}-m}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ n & \text{khi } x=1 \end{cases}\). Để hàm số liên tục tại \(x_0=1\) thì giá trị của biểu thức \((m+n)\) tương ứng bằng:
A. \(\frac{3}{4}\)
B. 1.
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{9}{4}\)
Câu 304: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-6x^2+11x-6}{x-3} & \text{khi } x \ne 3 \\ m & \text{khi } x=3 \end{cases}\). Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x=3?
A. m = 1.
B. m = 2.
C. m = 3.
D. m = 0.
Câu 305: Giới hạn \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - \cos 7x}{x^2}\). Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x=3?
A. 40.
B. 0.
C. -4.
D. 20.
Câu 306: Tìm m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{x+1} & \text{khi } x > -1 \\ mx-2m^2 & \text{khi } x \le -1 \end{cases}\) liên tục tại x=-1.
A. \(m \in \{1; -\frac{3}{2}\}\)
B. \(m \in \{1\}\)
C. \(m \in \{-\frac{3}{2}\}\)
D. \(m \in \{-1; -\frac{3}{2}\}\)
Câu 307: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x^2-2x} & \text{khi } x < 2 \\ mx+m+1 & \text{khi } x \ge 2 \end{cases}\) liên tục tại điểm x=2.
A. \(m = -\frac{1}{6}\)
B. \(m = \frac{1}{6}\)
C. \(m = -\frac{1}{2}\)
D. \(m = \frac{1}{2}\)
Câu 308: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2} & \text{khi } x \ne 0 \\ 2a-\frac{5}{4} & \text{khi } x = 0 \end{cases}\). Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) liên tục tại x=0.
A. \(a = -\frac{3}{4}\)
B. \(a = \frac{4}{3}\)
C. \(a = -\frac{4}{3}\)
D. \(a = \frac{3}{4}\)
Câu 309: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{ax^2+1}-bx-2}{4x^3-3x+1} & \text{khi } x \ne \frac{1}{2} \\ c & \text{khi } x = \frac{1}{2} \end{cases}\), (a,b,c \(\in \mathbb{R}\)). Biết hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\). Tính S=abc.
A. S = -36.
B. S = 18.
C. S = 36.
D. S = -18.
Câu 310: Tìm a để hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ a & \text{khi } x=1 \end{cases}\) liên tục tại điểm \(x_0=1\).
A. a = 1.
B. a = 0.
C. a = 2.
D. a = -1.
Câu 311: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2} & \text{khi } x \ne 0 \\ 1 & \text{khi } x = 0 \end{cases}\). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
A. f(x) có đạo hàm tại x=0.
B. \(f(\sqrt{2}) < 0\).
C. f(x) liên tục tại x=0.
D. f(x) gián đoạn tại x=0.
Câu 312: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} -x\cos x & x < 0 \\ \frac{x^2}{1+x} & 0 \le x < 1 \\ x^3 & x \ge 1 \end{cases}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x thuộc R.
B. Hàm số f(x) bị gián đoạn tại điểm x=0.
C. Hàm số f(x) bị gián đoạn tại điểm x=1.
D. Hàm số f(x) bị gián đoạn tại điểm x=0 và x=1.
Câu 313: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+x-2}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 3m & \text{khi } x=1 \end{cases}\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x=1.
A. \(m \ne 2\).
B. \(m \ne 1\).
C. \(m \ne 2\).
D. \(m \ne 3\).
Câu 314: Cho hình vuông \((C_1)\) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \((C_2)\). Từ hình vuông \((C_2)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3, \dots, C_n\). Gọi \(S_i\) là diện tích hình vuông \(C_i (i \in \{1;2;3;\dots\})\). Đặt \(T = S_1+S_2+S_3+\dots+S_n+\dots\). Biết \(T = \frac{32}{3}\), tính a?
A. 2.
B. \(\frac{5}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\).
D. \(2\sqrt{2}\).
ĐÁP ÁN TÀI LIỆU
Xoay ngang thiết bị nếu bạn không nhìn thấy, hoặc dùng Chế độ Máy tính.
| Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | C | 2 | C | 3 | B | 4 | A |
| 5 | B | 6 | D | 7 | B | 8 | C |
| 9 | B | 10 | A | 12 | C | 14 | B |
| 15 | B | 16 | B | 17 | B | 18 | D |
| 19 | C | 20 | C | 21 | A | 23 | B |
| 25 | D | 27 | B | 28 | A | 29 | D |
| 30 | C | 31 | C | 32 | D | 33 | B |
| 34 | A | 35 | A | 36 | A | 38 | B |
| 39 | D | 41 | A | 42 | D | 43 | B |
| 45 | C | 46 | A | 47 | A | 48 | C |
| 50 | C | 51 | A | 52 | B | 53 | A |
| 54 | B | 55 | B | 56 | B | 58 | A |
| 59 | A | 60 | C | 61 | B | 62 | B |
| 64 | C | 65 | A | 66 | B | 67 | A |
| 68 | B | 69 | A | 71 | A | 72 | A |
| 73 | B | 74 | C | 75 | B | 76 | B |
| 77 | D | 79 | D | 80 | A | 81 | C |
| 82 | B | 83 | B | 84 | B | 85 | C |
| 86 | B | 87 | A | 88 | C | 89 | C |
| 90 | B | 91 | D | 92 | D | 93 | C |
| 94 | C | 95 | A | 96 | D | 97 | A |
| 98 | B | 99 | B | 100 | D | 101 | A |
| 102 | C | 103 | A | 104 | A | 105 | A |
| 107 | B | 108 | D | 109 | A | 110 | A |
| 111 | C | 112 | A | 113 | B | 114 | D |
| 115 | B | 116 | C | 117 | C | 118 | B |
| 119 | A | 120 | D | 121 | B | 122 | A |
| 123 | D | 124 | B | 125 | B | 126 | C |
| 127 | A | 128 | A | 129 | B | 130 | B |
| 131 | B | 132 | A | 133 | C | 134 | D |
| 135 | A | 136 | B | 137 | C | 138 | D |
| 139 | B | 140 | B | 141 | A | 142 | D |
| 143 | B | 144 | B | 145 | B | 146 | B |
| 147 | B | 148 | D | 149 | C | 150 | B |
| 151 | C | 152 | A | 153 | C | 154 | D |
| 155 | A | 156 | A | 157 | C | 158 | D |
| 159 | C | 160 | A | 161 | A | 162 | B |
| 163 | C | 164 | A | 165 | D | 166 | B |
| 167 | C | 168 | A | 169 | C | 170 | B |
| 171 | A | 172 | C | 173 | C | 174 | B |
| 175 | A | 176 | A | 177 | A | 178 | B |
| 179 | B | 180 | D | 181 | A | 182 | D |
| 183 | C | 184 | D | 185 | B | 186 | C |
| 187 | B | 188 | A | 189 | A | 190 | B |
| 191 | C | 192 | D | 193 | D | 194 | A |
| 195 | D | 196 | D | 197 | B | 198 | A |
| 199 | D | 200 | A | 201 | D | 202 | C |
| 203 | A | 204 | B | 206 | D | 207 | B |
| 208 | A | 209 | D | 210 | B | 211 | B |
| 212 | C | 213 | A | 214 | A | 215 | B |
| 216 | B | 217 | A | 219 | C | 220 | B |
| 221 | D | 222 | D | 223 | C | 224 | C |
| 225 | C | 226 | A | 227 | A | 228 | A |
| 229 | D | 230 | A | 231 | C | 232 | A |
| 233 | C | 234 | D | 235 | D | 236 | A |
| 237 | B | 238 | B | 239 | D | 240 | D |
| 241 | C | 242 | A | 243 | D | 244 | B |
| 245 | B | 246 | B | 247 | D | 248 | C |
| 249 | C | 250 | A | 251 | B | 252 | D |
| 253 | C | 254 | A | 255 | B | 256 | C |
| 257 | D | 258 | C | 259 | B | 260 | B |
| 261 | A | 262 | B | 263 | C | 264 | D |
| 265 | B | 266 | B | 267 | D | 268 | A |
| 269 | B | 270 | A | 271 | D | 272 | C |
| 273 | B | 274 | A | 275 | D | 276 | A |
| 277 | A | 278 | D | 279 | D | 280 | A |
| 281 | C | 282 | A | 283 | A | 284 | B |
| 285 | A | 286 | A | 287 | C | 288 | C |
| 289 | D | 290 | C | 291 | D | 292 | D |
| 293 | A | 294 | C | 295 | A | 296 | C |
| 297 | D | 298 | C | 299 | A | 300 | A |
| 301 | A | 302 | A | 303 | D | 304 | B |
| 305 | D | 306 | A | 307 | A | 308 | D |
| 309 | D | 310 | C | 311 | D | 312 | C |
| 313 | B | 314 | D |
LỜI GIẢI CÁC CÂU KHÓ
Câu 21
Phân tích
Câu hỏi yêu cầu tính giới hạn \( \lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{2x^3 + 6\sqrt{3}}{3 - x^2} \). Khi thay \( x = -\sqrt{3} \) vào biểu thức, ta được dạng vô định \( \frac{0}{0} \). Do đó, ta cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử để khử dạng vô định.
Lời giải
Ta có giới hạn: \( L = \lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{2x^3 + 6\sqrt{3}}{3 - x^2} \)
Phân tích tử số: \( 2x^3 + 6\sqrt{3} = 2(x^3 + 3\sqrt{3}) = 2(x^3 + (\sqrt{3})^3) \)
Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương \( A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2) \), ta được: \( 2(x + \sqrt{3})(x^2 - x\sqrt{3} + 3) \)
Phân tích mẫu số: \( 3 - x^2 = (\sqrt{3})^2 - x^2 = (\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x) \)
Thay vào giới hạn ban đầu: \( L = \lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{2(x + \sqrt{3})(x^2 - x\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} \)
Khử nhân tử chung \( (x + \sqrt{3}) \): \( L = \lim_{x \to -\sqrt{3}} \frac{2(x^2 - x\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} - x} \)
Bây giờ, thay \( x = -\sqrt{3} \) vào biểu thức: \( L = \frac{2((-\sqrt{3})^2 - (-\sqrt{3})\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})} = \frac{2(3 + 3 + 3)}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \)
Theo đề bài, giới hạn có dạng \( a\sqrt{3} + b \). So sánh \( 3\sqrt{3} \) với \( a\sqrt{3} + b \), ta có \( a = 3 \) và \( b = 0 \).
Giá trị của \( a^2 + b^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \).
Đáp án: A
Câu 28
Phân tích
Ta có hai điều kiện: \( b > 0, a+b=5 \) và một giới hạn \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+1} - \sqrt{bx+1}}{x} = 2 \). Đây là dạng vô định \( \frac{0}{0} \). Ta sẽ sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử và nhân liên hợp để tính giới hạn, từ đó thiết lập một phương trình thứ hai cho a và b.
Lời giải
Ta biến đổi giới hạn bằng cách thêm và bớt 1 ở tử số: \( L = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{ax+1} - 1) - (\sqrt{bx+1} - 1)}{x} \)
\( L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+1} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{bx+1} - 1}{x} \)
Tính giới hạn thứ nhất bằng cách nhân liên hợp: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ax+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(ax+1) - 1}{x(\sqrt{ax+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{ax}{x(\sqrt{ax+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{ax+1} + 1} = \frac{a}{2} \)
Tính giới hạn thứ hai bằng cách nhân liên hợp bậc ba: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{bx+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(bx+1) - 1}{x(\sqrt{(bx+1)^2} + \sqrt{bx+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{b}{\sqrt{(bx+1)^2} + \sqrt{bx+1} + 1} = \frac{b}{3} \)
Do đó, ta có phương trình: \( \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 2 \implies 3a - 2b = 12 \).
Ta có hệ phương trình: \( \begin{cases} a+b = 5 \\ 3a-2b = 12 \end{cases} \)
Từ phương trình đầu, \( a = 5-b \). Thay vào phương trình thứ hai: \( 3(5-b) - 2b = 12 \implies 15 - 3b - 2b = 12 \implies 15 - 5b = 12 \implies 5b = 3 \implies b = \frac{3}{5} \).
Suy ra \( a = 5 - \frac{3}{5} = \frac{22}{5} \).
Kiểm tra các khẳng định:
A. \( 1 < a < 3 \). Ta có \( a = \frac{22}{5} = 4.4 \). Do đó \( 1 < 4.4 < 3 \) là sai.
B. \( b > 1 \). Ta có \( b = \frac{3}{5} = 0.6 \). Do đó \( 0.6 > 1 \) là sai.
C. \( a^2 + b^2 > 10 \). Ta có \( a^2 + b^2 = (\frac{22}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{484}{25} + \frac{9}{25} = \frac{493}{25} = 19.72 \). Do đó \( 19.72 > 10 \) là đúng.
D. \( a - b < 0 \). Ta có \( a-b = \frac{22}{5} - \frac{3}{5} = \frac{19}{5} > 0 \). Do đó \( a-b < 0 \) là sai.
Đề bài yêu cầu tìm khẳng định sai. Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong các đáp án. Tuy nhiên, nếu xét câu A là \(1 < a < 5\) thì nó đúng. Giả sử câu A là đáp án sai như trong đề.
Đáp án: A (Vì khẳng định \(1 < a < 3\) là sai)
Câu 51
Phân tích
Giới hạn \( \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1-x} - \frac{b}{1-x^3}) \) có dạng \( \infty - \infty \). Để giới hạn này hữu hạn, ta phải biến đổi biểu thức về dạng phân thức và khử dạng vô định \( \frac{0}{0} \). Điều kiện để khử được dạng vô định sẽ cho ta mối quan hệ giữa a và b.
Lời giải
Ta quy đồng mẫu số của biểu thức: \( \frac{a}{1-x} - \frac{b}{1-x^3} = \frac{a(1+x+x^2)}{(1-x)(1+x+x^2)} - \frac{b}{1-x^3} = \frac{a(1+x+x^2) - b}{1-x^3} \)
Khi \( x \to 1 \), mẫu số \( 1 - x^3 \to 0 \). Để giới hạn của biểu thức này là hữu hạn, tử số cũng phải tiến tới 0 khi \( x \to 1 \). Nghĩa là: \( \lim_{x \to 1} [a(1+x+x^2) - b] = 0 \)
\( \implies a(1+1+1^2) - b = 0 \implies 3a - b = 0 \implies b = 3a \).
Ta lại có điều kiện \( a+b=4 \). Thay \( b=3a \) vào, ta được: \( a + 3a = 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1 \). Suy ra \( b = 3 \).
Bây giờ ta cần tính giới hạn L: \( L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1-x^3} - \frac{a}{1-x}) = - \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1-x} - \frac{b}{1-x^3}) \)
Thay \( a=1, b=3 \) vào biểu thức đã rút gọn: \( L = - \lim_{x \to 1} \frac{1(1+x+x^2) - 3}{1-x^3} = - \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{1-x^3} \)
Đây là dạng \( \frac{0}{0} \). Phân tích tử và mẫu: \( x^2+x-2 = (x-1)(x+2) \) \( 1-x^3 = -(x^3-1) = -(x-1)(x^2+x+1) \)
\( L = - \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{-(x-1)(x^2+x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x^2+x+1} \)
Thay \( x=1 \) vào: \( L = \frac{1+2}{1^2+1+1} = \frac{3}{3} = 1 \).
Đáp án: A
Câu 99
Phân tích
Biểu thức là giới hạn của tổng hai dãy số. Ta sẽ tính giới hạn của từng thành phần. Thành phần thứ nhất là giới hạn của dãy số chứa lũy thừa. Ta sẽ chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất. Thành phần thứ hai là giới hạn của dãy phân thức hữu tỉ.
Lời giải
Ta cần tính: \( L = \lim \left( \frac{(\sqrt{5})^n - 2^{n+1} + 1}{5 \cdot 2^n + (\sqrt{5})^{n+1} - 3} + \frac{2n^2+3}{n^2-1} \right) \)
\( L = \lim \frac{(\sqrt{5})^n - 2 \cdot 2^n + 1}{5 \cdot 2^n + \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5})^n - 3} + \lim \frac{2n^2+3}{n^2-1} \)
Tính giới hạn thứ nhất, \( L_1 \). Ta có \( \sqrt{5} \approx 2.236 > 2 \), nên cơ số lớn nhất là \( \sqrt{5} \). Ta chia cả tử và mẫu cho \( (\sqrt{5})^n \): \( L_1 = \lim \frac{1 - 2 \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}})^n + (\frac{1}{\sqrt{5}})^n}{5 \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}})^n + \sqrt{5} - 3 \cdot (\frac{1}{\sqrt{5}})^n} \)
Vì \( |\frac{2}{\sqrt{5}}| < 1 \) và \( |\frac{1}{\sqrt{5}}| < 1 \), nên \( \lim (\frac{2}{\sqrt{5}})^n = 0 \) và \( \lim (\frac{1}{\sqrt{5}})^n = 0 \). \( L_1 = \frac{1 - 2 \cdot 0 + 0}{5 \cdot 0 + \sqrt{5} - 3 \cdot 0} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
Tính giới hạn thứ hai, \( L_2 \). Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \( L_2 = \lim \frac{2 + \frac{3}{n^2}}{1 - \frac{1}{n^2}} = \frac{2+0}{1-0} = 2 \)
Vậy giới hạn tổng cộng là \( L = L_1 + L_2 = \frac{\sqrt{5}}{5} + 2 \).
Theo đề bài, giới hạn này bằng \( \frac{a\sqrt{5}}{b} + c \). So sánh, ta có \( a=1, b=5, c=2 \).
Giá trị của biểu thức \( S = a^2+b^2+c^2 = 1^2 + 5^2 + 2^2 = 1 + 25 + 4 = 30 \).
Đáp án: B
Câu 309
Phân tích
Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = \frac{1}{2} \), thì \( \lim_{x \to 1/2} f(x) = f(1/2) = c \). Giới hạn này có dạng \( \frac{0}{0} \) vì khi thay \( x=1/2 \) vào mẫu \( 4x^3-3x+1 \) ta được 0. Do đó, tử số cũng phải bằng 0 tại \( x=1/2 \). Mẫu số có nghiệm kép tại \( x=1/2 \), nên ta sẽ phân tích mẫu thành nhân tử. Sau đó, ta sẽ tìm điều kiện để khử được nhân tử ở mẫu.
Lời giải
Mẫu số: \( D(x) = 4x^3-3x+1 \). Ta thấy \( D(1/2) = 4(1/8) - 3(1/2) + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = 0 \). Phân tích \( D(x) \) có nhân tử \( (x-1/2) \) hay \( (2x-1) \). \( D(x) = (2x-1)(2x^2+x-1) = (2x-1)(2x-1)(x+1) = (2x-1)^2(x+1) \).
Tử số: \( N(x) = \sqrt{ax^2+1}-bx-2 \). Vì giới hạn là hữu hạn (bằng c), tử số phải triệt tiêu nhân tử \( (2x-1)^2 \) của mẫu số. Điều này có nghĩa là đa thức \( P(x) = (ax^2+1) - (bx+2)^2 \) phải có nghiệm kép \( x=1/2 \).
\( P(x) = ax^2+1 - (b^2x^2 + 4bx + 4) = (a-b^2)x^2 - 4bx - 3 \)
Nếu \( P(x) \) có nghiệm kép \( x=1/2 \), nó phải có dạng \( K(x-1/2)^2 \) hay \( K'(2x-1)^2 \). \( K'(2x-1)^2 = K'(4x^2 - 4x + 1) = 4K'x^2 - 4K'x + K' \).
Đồng nhất hệ số của \( P(x) \) với biểu thức trên: \( \begin{cases} a-b^2 = 4K' \\ -4b = -4K' \\ -3 = K' \end{cases} \)
Từ phương trình (3), ta có \( K' = -3 \). Thay vào phương trình (2): \( -4b = -4(-3) \implies -4b=12 \implies b=-3 \). Thay vào phương trình (1): \( a - (-3)^2 = 4(-3) \implies a-9 = -12 \implies a=-3 \).
Vậy ta tìm được \( a=-3, b=-3 \). Bây giờ ta tính c, là giá trị của giới hạn: \( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{\sqrt{-3x^2+1}-(-3x)-2}}{(2x-1)^2(x+1)} = \lim_{x \to 1/2} \frac{\sqrt{-3x^2+1}+3x-2}{(2x-1)^2(x+1)} \)
Ta nhân liên hợp cho tử số: \( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{(-3x^2+1) - (3x-2)^2}{((2x-1)^2(x+1))(\sqrt{-3x^2+1} + 3x-2)} \) \( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{-3x^2+1 - (9x^2-12x+4)}{((2x-1)^2(x+1))(\dots)} = \lim_{x \to 1/2} \frac{-12x^2+12x-3}{(\dots)} \)
\( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{-3(4x^2-4x+1)}{((2x-1)^2(x+1))(\sqrt{-3x^2+1} + 3x-2)} \) \( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{-3(2x-1)^2}{((2x-1)^2(x+1))(\sqrt{-3x^2+1} + 3x-2)} \)
Khử \( (2x-1)^2 \) và thay \( x=1/2 \): \( c = \frac{-3}{(1/2+1)(\sqrt{-3(1/4)+1} + 3(1/2)-2)} = \frac{-3}{(3/2)(\sqrt{1/4} + 3/2 - 2)} \) \( c = \frac{-3}{(3/2)(1/2 - 1/2)} = \frac{-3}{(3/2)(0)} \) - có lỗi tính toán.
Hãy quay lại bước \( c = \lim_{x \to 1/2} \frac{-3}{(x+1)(\sqrt{-3x^2+1} + 3x-2)} \). À, biểu thức liên hợp phải là \( \sqrt{ax^2+1} + (bx+2) \). Với \( b=-3 \), nó là \( \sqrt{-3x^2+1} + (-3x+2) \). Thay \( x=1/2 \) vào đây: \( (1/2+1)(\sqrt{-3/4+1} + (-3/2+2)) = (3/2)(\sqrt{1/4} + 1/2) = (3/2)(1/2+1/2) = 3/2 \). Vậy \( c = \frac{-3}{3/2} = -2 \).
Ta có \( a=-3, b=-3, c=-2 \). Tính \( S = abc = (-3)(-3)(-2) = -18 \).
Đáp án: D
Câu 314
Phân tích
Đây là bài toán tính tổng của một chuỗi vô hạn. Các số hạng của chuỗi là diện tích của các hình vuông \( C_1, C_2, \dots \). Ta cần tìm mối quan hệ giữa diện tích của hình vuông \( C_{n+1} \) và \( C_n \). Dựa vào cách dựng hình, ta thấy rằng các diện tích này tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn. Ta sẽ tìm công bội q của cấp số nhân này, sau đó áp dụng công thức tính tổng.
Lời giải
Gọi cạnh của hình vuông \( C_n \) là \( a_n \) và diện tích là \( S_n = a_n^2 \). Theo đề bài, cạnh của hình vuông \( C_1 \) là \( a_1 = a \), suy ra \( S_1 = a^2 \).
Để xác định \( S_2 \), ta xét hình vuông \( C_1 \) trong hệ tọa độ Oxy với các đỉnh tại (0,0), (a,0), (a,a), (0,a). Các điểm chia trên các cạnh của \( C_1 \) sẽ là các điểm cách đỉnh một khoảng \( a/4 \). Theo hình vẽ, các đỉnh của hình vuông \( C_2 \) được tạo bởi việc nối các điểm chia này. Giả sử các đỉnh của \( C_2 \) là: P1 trên cạnh dưới tại \( (a/4, 0) \). P2 trên cạnh phải tại \( (a, a/4) \). P3 trên cạnh trên tại \( (3a/4, a) \). P4 trên cạnh trái tại \( (0, 3a/4) \).
Cạnh của hình vuông \( C_2 \) là \( a_2 \), và bình phương của nó bằng khoảng cách bình phương giữa hai đỉnh kề nhau, ví dụ P1 và P2. \( a_2^2 = (x_{P2}-x_{P1})^2 + (y_{P2}-y_{P1})^2 = (a - \frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4} - 0)^2 \)
\( a_2^2 = (\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2 = \frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{16} = \frac{10a^2}{16} = \frac{5}{8}a^2 \)
Vậy diện tích của hình vuông \( C_2 \) là \( S_2 = a_2^2 = \frac{5}{8}a^2 = \frac{5}{8}S_1 \).
Tương tự, ta có \( S_3 = \frac{5}{8}S_2 = (\frac{5}{8})^2 S_1 \), và tổng quát \( S_{n+1} = \frac{5}{8}S_n \). Dãy các diện tích \( S_1, S_2, S_3, \dots \) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \( S_1 = a^2 \) và công bội \( q = \frac{5}{8} \).
Tổng của cấp số nhân này là: \( T = S_1 + S_2 + S_3 + \dots = \frac{S_1}{1-q} \)
\( T = \frac{a^2}{1 - \frac{5}{8}} = \frac{a^2}{\frac{3}{8}} = \frac{8a^2}{3} \)
Theo đề bài, \( T = \frac{32}{3} \). Ta có phương trình: \( \frac{8a^2}{3} = \frac{32}{3} \implies 8a^2 = 32 \implies a^2 = 4 \)
Vì a là độ dài cạnh nên \( a > 0 \), suy ra \( a=2 \).
Đáp án tính toán được: A
