PHÉP QUAY
PHẦN I - LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha\). Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho \(OM' = OM\) và góc lượng giác \((OM; OM')\) bằng \(\alpha\) được gọi là phép quay tâm O góc \(\alpha\).
• Điểm O được gọi là tâm quay, còn \(\alpha\) được gọi là góc quay của phép quay đó.
• Phép quay tâm O góc \(\alpha\) thường được kí hiệu là \(Q_{(O, \alpha)}\).
\( Q_{(O, \alpha)}(M) = M' \Leftrightarrow \begin{cases} OM = OM' \\ (OM, OM') = \alpha \end{cases} \)
Nhận xét:
• Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
• Với \(k\) là số nguyên ta luôn có:
+ Phép quay \(Q_{(O, 2k\pi)}\) là phép đồng nhất, với \(k \in Z\).
+ Phép quay \(Q_{(O, (2k+1)\pi)}\) là phép đối xứng tâm O, với \(k \in Z\).
• Góc \(\alpha\) là góc lượng giác.
Ví dụ: i) Nếu \(Q_{(O, \alpha)}(d) = d'\) thì \((d, d') = \alpha\) là mệnh đề sai.
ii) Nếu \(Q_{(O, \alpha)}(M) = M'\) thì \(\widehat{MOM'} = \alpha\) là mệnh đề sai.
2. Các tính chất.
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời hình).
Cụ thể: Nếu \(Q_{(O, \alpha)}(A) = A'\) và \(Q_{(O, \alpha)}(B) = B'\) thì \(A'B' = AB\).
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Nhận xét: Cho đường thẳng d và \(Q_{(O, \alpha)}(d) = d'\). Khi đó:
i) Nếu \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi\) thì \(d' \perp d\).
ii) Nếu \(\alpha = k2\pi\), O tuỳ ý hoặc \(\alpha = k\pi, O \in d\) thì \(d' = d\).
iii) Nếu \(\alpha = \pi + k2\pi, O \notin d\) thì \(d' // d\).
iv) Nếu \(0 < \alpha < \pi\) thì \((d, d') = \begin{cases} \alpha & \text{khi } 0 < \alpha \le \frac{\pi}{2} \\ \pi - \alpha & \text{khi } \frac{\pi}{2} \le \alpha < \pi \end{cases}\)
Tính chất 3: \(Q_{(O, \alpha)}(M) = M' \Leftrightarrow Q_{(O, -\alpha)}(M') = M\)
(sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh)
3. Biểu thức toạ độ.
Trong mặt phẳng Oxy, cho \(M(x; y)\), \(M'(x'; y')\) và \(Q_{(O, \alpha)}(M) = M'\).
Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha \\ y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha \end{cases}\)
Đặc biệt:
i) Nếu \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) thì \(\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases}\)
ii) Nếu \(\alpha = -\frac{\pi}{2}\) thì \(\begin{cases} x' = y \\ y' = -x \end{cases}\)
iii) Nếu \(\alpha = \pm \pi\) thì \(\begin{cases} x' = -x \\ y' = -y \end{cases}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho \(M(x; y)\), \(M'(x'; y')\), \(I(a; b)\) và \(Q_{(I, \alpha)}(M) = M'\).
Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' - a = (x - a)\cos \alpha - (y - b)\sin \alpha \\ y' - b = (x - a)\sin \alpha + (y - b)\cos \alpha \end{cases}\)
PHẦN II - CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1: Cho trước hình (H). Tìm ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, ... liên quan đến hình (H) qua phép quay cho trước.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán.
Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:
i) Nếu \(\begin{cases} OA = OA' \\ (OA, OA') = \alpha \end{cases}\) thì \(Q_{(O, \alpha)}(A) = A'\).
ii) Nếu \(\begin{cases} Q_{(O, \alpha)}(O) = O \\ Q_{(O, \alpha)}(A) = A' \\ Q_{(O, \alpha)}(B) = B' \end{cases}\) thì \(\begin{cases} Q_{(O, \alpha)}(AB) = A'B' \\ Q_{(O, \alpha)}(\Delta OAB) = \Delta OA'B' \end{cases}\)
Bước 3. Kết luận.
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có góc \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Xác định ảnh của cạnh CD qua phép quay \(Q_{(A, -60^\circ)}\).
Lời giải
+ Do \(\Delta ABC, \Delta ACD\) là các tam giác đều nên ta có: \(Q_{(A, -60^\circ)}(C) = B\) và \(Q_{(A, -60^\circ)}(D) = C\).
+ Vậy \(Q_{(A, -60^\circ)}(CD) = BC\).
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có tâm là O, (các đỉnh ghi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA. Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay \(-90^\circ\).
Lời giải
+ Ta có: \(Q_{(O, -90^\circ)}(O) = O\), \(Q_{(O, -90^\circ)}(D) = C\), \(Q_{(O, -90^\circ)}(N) = P\).
+ Vậy \(Q_{(O, -90^\circ)}(\Delta ODN) = \Delta OCP\).
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có tâm là O (các đỉnh ghi theo chiều cùng chiều kim đồng hồ). Gọi M, N lần lượt trung điểm của AB, OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép tâm O góc quay \(90^\circ\).
Lời giải
+ Ta có: \(Q_{(O, 90^\circ)}(A) = D\), \(Q_{(O, 90^\circ)}(M) = M'\), \(Q_{(O, 90^\circ)}(N) = N'\) (với M', N' lần lượt trung điểm của đoạn AD, OD)
+ Vậy \(Q_{(O, 90^\circ)}(\Delta AMN) = \Delta DM'N'\).
DẠNG 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của điểm qua phép quay \(Q_{(I, \alpha)}\), với \(I(a;b)\).
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Loại 1: Tìm ảnh của điểm M.
Cách 1: Dựa vào hình vẽ trong hệ trục toạ độ.
Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ.
Loại 2: Tìm tạo ảnh của điểm M.
Chú ý: \(Q_{(I, \alpha)}(N) = M \Leftrightarrow Q_{(I, -\alpha)}(M) = N\).
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(A(-1; 5)\). Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm \(O(0;0)\) góc quay \(-90^\circ\).
Lời giải
Cách 1:
+) Do \(Q_{(O, -90^\circ)}(A) = B\) nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: \(B(5; 1)\).
Cách 2:
+) Do \(Q_{(O, -90^\circ)}(A) = B\) nên \(\begin{cases} x_B = y_A = 5 \\ y_B = -x_A = 1 \end{cases}\). Vậy \(B(5; 1)\).
Chú ý: Ưu tiên giải cách 2.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M(3; 4)\). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay \(30^\circ\).
Lời giải
+) Do \(Q_{(O, 30^\circ)}(M) = M'\) nên \(\begin{cases} x_{M'} = 3\cos 30^\circ - 4\sin 30^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 \\ y_{M'} = 3\sin 30^\circ + 4\cos 30^\circ = \frac{3}{2} + 2\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow M'(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 2; \frac{3}{2} + 2\sqrt{3})\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M(3; 4)\). Tìm toạ độ điểm N sao cho điểm M là ảnh của N qua phép quay tâm \(I(2; 3)\), góc quay \(90^\circ\).
Lời giải
+) Ta có: \(Q_{(I, 90^\circ)}(N) = M \Leftrightarrow Q_{(I, -90^\circ)}(M) = N\) nên \(\begin{cases} x_N - 2 = (x_M - 2)\cos(-90^\circ) - (y_M - 3)\sin(-90^\circ) \\ y_N - 3 = (x_M - 2)\sin(-90^\circ) + (y_M - 3)\cos(-90^\circ) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_N - 2 = y_M - 3 \\ y_N - 3 = -(x_M - 2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_N = 3 \\ y_N = 2 \end{cases}\). Vậy \(N(3; 2)\).
DẠNG 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường thẳng qua phép quay \(Q_{(I, \alpha)}\), với \(I(a; b)\).
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Loại 1: Tìm ảnh của đường thẳng d.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.
Cho đường thẳng \(d: Ax + By + C = 0\) và \(Q_{(I, \alpha)}(d) = d'\).
i) Nếu \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi\) thì \(d' \perp d\). Khi đó: d' có PT dạng: \(-Bx + Ay + m = 0\).
ii) Nếu \(\alpha = k2\pi\), I tuỳ ý hoặc \(\alpha = k\pi, I \in d\) thì \(d' = d\).
iii) Nếu \(\alpha = \pi + k2\pi, I \notin d\) thì \(d' // d\). Khi đó: d' có PT dạng: \(Ax + By + m = 0 (m \neq C)\).
Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ.
Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường thẳng d.
Chú ý: \(Q_{(I, \alpha)}(\Delta) = d \Leftrightarrow Q_{(I, -\alpha)}(d) = \Delta\).
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d: 5x - 3y + 15 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay \(90^\circ\).
Lời giải
Cách 1:
+) Do \(Q_{(O, 90^\circ)}(d) = d'\) nên \(d' \perp d\). Do đó d' có PT dạng: \(3x + 5y + m = 0\).
+) Chọn \(M(-3; 0) \in d\), gọi \(M'(x'; y') \in d'\) là ảnh của điểm M qua phép quay \(Q_{(O, 90^\circ)}\).
Suy ra: \(\begin{cases} x' = -y_M = 0 \\ y' = x_M = -3 \end{cases} \Rightarrow M'(0; -3)\).
+) Do \(M'(0; -3) \in d'\) nên \(3.0 + 5.(-3) + m = 0 \Leftrightarrow m = 15\).
+) Vậy d' có PT là \(3x + 5y + 15 = 0\).
Cách 2:
+) Với mọi điểm \(M(x; y) \in d\), \(M'(x'; y') \in d'\) sao cho \(Q_{(O, 90^\circ)}(M) = M'\).
+) Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = y' \\ y = -x' \end{cases}\)
+) Do \(M(x, y) \in d\) nên ta có \(5x - 3y + 15 = 0 \Leftrightarrow 5y' - 3(-x') + 15 = 0 \Leftrightarrow 3x' + 5y' + 15 = 0\).
+) Do \(M'(x'; y') \in d'\) nên d' có PT là \(3x + 5y + 15 = 0\).
Cách 3 (Chú ý công thức nhanh):
Trong mpOxy, cho \(d: Ax + By + C = 0\). Nếu \(Q_{(O, \alpha)}(d) = d'\) và \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi\) thì d' có PT là: \(-Bx + Ay + C.\sin\alpha = 0\).
+) Do \(d: 5x - 3y + 15 = 0\) và \(Q_{(O, 90^\circ)}(d) = d'\) nên d' có PT là \(3x + 5y + 15.\sin 90^\circ = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y + 15 = 0\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d: 2x - 5y + 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay \(180^\circ\).
Lời giải
Cách 1:
+) Do \(Q_{(O, 180^\circ)}(d) = d'\) nên \(d' // d\). Do đó d' có PT dạng: \(2x - 5y + m = 0 (m \neq 3)\).
+) Chọn \(M(1; 1) \in d\), gọi \(M'(x'; y') \in d'\) là ảnh của điểm M qua phép quay \(Q_{(O, 180^\circ)}\).
Suy ra: \(\begin{cases} x' = -x_M = -1 \\ y' = -y_M = -1 \end{cases} \Rightarrow M'(-1; -1)\).
+) Do \(M'(-1; -1) \in d'\) nên \(2.(-1) - 5.(-1) + m = 0 \Leftrightarrow m = -3\).
+) Vậy d' có PT là \(2x - 5y - 3 = 0\).
Cách 3 (Chú ý công thức nhanh):
Trong mpOxy, cho \(d: Ax + By + C = 0\). Nếu \(Q_{(O, \alpha)}(d) = d'\) và \(\alpha = \pi + k2\pi, O \notin d\) thì d' có PT là: \(Ax + By - C = 0\).
+) Do \(d: 2x - 5y + 3 = 0\) và \(Q_{(O, 180^\circ)}(d) = d'\) nên d' có PT là \(2x - 5y - 3 = 0\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d: 2x - 5y + 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm \(I(-1; 2)\), góc quay \(-180^\circ\).
Lời giải
+) Do \(Q_{(I, -180^\circ)}(d) = d'\) nên \(d' // d\). Do đó d' có PT dạng: \(2x - 5y + m = 0 (m \neq 3)\).
+) Chọn \(M(1; 1) \in d\), gọi \(M'(x'; y') \in d'\) là ảnh của điểm M qua phép quay \(Q_{(I, -180^\circ)}\).
Suy ra: I là trung điểm MM' nên ta có: \(\begin{cases} x' = 2x_I - x_M = -3 \\ y' = 2y_I - y_M = 3 \end{cases} \Rightarrow M'(-3; 3)\).
+) Do \(M'(-3; 3) \in d'\) nên \(2.(-3) - 5.3 + m = 0 \Leftrightarrow m = 21\).
+) Vậy d' có PT là \(2x - 5y + 21 = 0\).
Cách 3 (Chú ý công thức nhanh):
Trong mpOxy, cho \(d: Ax + By + C = 0\). Nếu \(Q_{(I, \alpha)}(d) = d'\) và \(\alpha = \pi + k2\pi, I(a; b) \notin d\) thì d' có PT là: \(Ax + By - 2Aa - 2Bb - C = 0\).
+) Do \(d: 2x - 5y + 3 = 0\) và \(Q_{(I, -180^\circ)}(d) = d'\) với \(I(-1; 2)\) nên d' có PT là \(2x - 5y + 21 = 0\).
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d: 2x - y - 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay \(45^\circ\).
Lời giải
+) Chọn \(A(1; 0) \in d\), \(B(0; -2) \in d\), gọi \(A' \in d'\), \(B' \in d'\) lần lượt là ảnh của điểm A, B qua phép quay \(Q_{(O, 45^\circ)}\).
Suy ra: \(\begin{cases} x_{A'} = 1.\cos 45^\circ - 0.\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y_{A'} = 1.\sin 45^\circ + 0.\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow A'(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})\).
và \(\begin{cases} x_{B'} = 0.\cos 45^\circ - (-2).\sin 45^\circ = \sqrt{2} \\ y_{B'} = 0.\sin 45^\circ + (-2).\cos 45^\circ = -\sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow B'(\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).
Ta có: \(\vec{A'B'} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{3\sqrt{2}}{2})\). d' có VTCP \(\vec{u} = (1; -3)\).
+) Do d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay \(Q_{(O, 45^\circ)}\) nên d' đi qua A', B'.
+) d' đi qua \(B'(\sqrt{2}; -\sqrt{2})\) và có VTCP \(\vec{u}=(1;-3)\) nên d' có PTTS là: \(\begin{cases} x = \sqrt{2} + t \\ y = -\sqrt{2} - 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\).
+) Vậy d' có PT là \(3x + y - 2\sqrt{2} = 0\).
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(d : 2x – 5y + 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) sao cho d là ảnh của đường thẳng \(\Delta\) qua phép quay tâm \(I(−1; 2)\), góc quay \(–180^\circ\).
Lời giải
+) Do \(Q_{(I, -180^\circ)}(\Delta) = d \Leftrightarrow Q_{(I, 180^\circ)}(d) = \Delta\) nên \(\Delta // d\). Do đó \(\Delta\) có PT dạng: \(2x - 5y + m = 0 (m \neq 3)\).
+) Chọn \(M(1; 1) \in d\), gọi \(M'(x'; y') \in \Delta\) là ảnh của điểm M qua phép quay \(Q_{(I, 180^\circ)}\).
Suy ra: I là trung điểm MM' nên ta có: \(\begin{cases} x' = 2x_I - x_M = -3 \\ y' = 2y_I - y_M = 3 \end{cases} \Rightarrow M'(-3; 3)\).
+) Do \(M'(-3; 3) \in \Delta\) nên \(2.(-3) - 5.3 + m = 0 \Leftrightarrow m = 21\).
+) Vậy \(\Delta\) có PT là \(2x - 5y + 21 = 0\).
DẠNG 4: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép quay \(Q_{(I,\alpha)}\), với \(I(a; b)\).
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Loại 1: Tìm ảnh của đường tròn (C)
Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.
Cho đường tròn \(C(A;R)\) và \(Q_{(I,\alpha)}((C)) = (C')\), với \(C'(A';R')\).
Khi đó ta có: i) \(R' = R\). ii) \(Q_{(I,\alpha)}(A) = A'\) (quay về DẠNG TOÁN 2)
Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ.
Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường tròn (C)
Chú ý: \(Q_{(I,\alpha)}((C_1)) = (C) \Leftrightarrow Q_{(I,-\alpha)}((C)) = (C_1)\)
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 9\). Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.
Lời giải
Cách 1:
+) Đường tròn (C) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R = 3\).
+ Gọi \(C'(I', R')\) là ảnh của (C) qua phép quay \(Q_{(O,180°)}\).
Khi đó ta có: \(R' = R = 3\) và \(Q_{(O,180°)}(I) = I'\), suy ra: \(\begin{cases} x'_{I} = -x_{I} = -2 \\ y'_{I} = -y_{I} = 3 \end{cases} \Rightarrow I'(-2;3)\).
+) Vậy (C') có PT là: \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\).
Cách 2:
+ Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay \(Q_{(O,180°)}\).
+) Với mọi điểm \(M(x;y) \in (C)\), \(M'(x';y') \in (C')\) sao cho \(Q_{(O,180°)}(M) = M'\).
+) Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' = -x \\ y' = -y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -x' \\ y = -y' \end{cases}\)
+) Do \(M(x;y) \in (C)\) nên ta có:
\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 9 \Leftrightarrow (-x'-2)^2 + (-y'+3)^2 = 9 \Leftrightarrow (x'+2)^2 + (y'-3)^2 = 9\)
+) Do \(M'(x';y') \in (C')\) nên (C') có PT là \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\).
Chú ý: Ưu tiên giải cách 1.
Cách 3:
Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho \((C): (x-A)^2 + (y-B)^2 = R^2\).
Nếu \(Q_{(O,\alpha)}((C)) = (C')\) và \(\alpha = \pi + k2\pi\) thì \((C'): (x+A)^2 + (y+B)^2 = R^2\).
+) Do (C): \((x-2)^2+(y+3)^2 = 9\) và \(Q_{(O,180°)}((C)) = (C')\) nên (C') có PT là \((x+2)^2+(y-3)^2=9\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \(x^2 + y^2 – 4x + 6y - 12 = 0\). Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A(1;-5), góc quay –180°.
Lời giải
Cách 1:
+) Đường tròn (C) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R = 5\).
+ Gọi \(C'(I', R')\) là ảnh của (C) qua phép quay \(Q_{(A,-180°)}\).
Khi đó ta có: \(R' = R = 5\) và \(Q_{(A,-180°)}(I) = I'\), suy ra: A là trung điểm II' nên ta có:
\(\begin{cases} x_{I'} = 2x_A - x_I = 0 \\ y_{I'} = 2y_A - y_I = -7 \end{cases} \Rightarrow I'(0;-7)\).
+) Vậy (C') có PT là: \(x^2 + (y+7)^2 = 25\).
Cách 2:
Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho \((C): (x-A)^2 + (y-B)^2 = R^2\).
Nếu \(Q_{(I,\alpha)}((C)) = (C')\) và \(\alpha = \pi + k2\pi, I(a;b)\) thì \((C'):(x+A-2a)^2 + (y+B-2b)^2 = R^2\).
+) Do (C): \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\) và \(Q_{(A,-180°)}(I) = I', A(1;-5)\) nên (C') có PT là \((x+2-2.1)^2+(y-3-2.(-5))^2 = 25 \Leftrightarrow x^2+(y+7)^2=25\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \((x-2)^2 + y^2 = 8\). Viết phương trình đường tròn \((C_1)\) sao cho (C) là ảnh của đường tròn \((C_1)\) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
Lời giải
Cách 1:
+) Đường tròn (C) có tâm \(I(2;0)\) và bán kính \(R = \sqrt{8}\), và gọi \(C_1(I_1, R_1)\).
+) Theo đề ta có: \(Q_{(O,90°)}((C_1)) = (C) \Leftrightarrow Q_{(O,-90°)}((C)) = (C_1)\)
Suy ra: \(R_1 = R = \sqrt{8}\) và \(Q_{(O,-90°)}(I) = (I_1) \Rightarrow I_1(0;-2)\).
+) Vậy \((C_1)\) có PT là: \(x^2+(y+2)^2=8\).
Cách 2:
Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho \((C): (x-A)^2 + (y-B)^2 = R^2\).
Nếu \(Q_{(O,\alpha)}(C) = (C')\) và \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi\) thì \((C'): (x+B.\sin\alpha)^2 + (y-A.\sin\alpha)^2 = R^2\).
+) Do (C): \((x-2)^2 + y^2 = 8\) và \(Q_{(O,90°)}((C_1)) = (C) \Leftrightarrow Q_{(O,-90°)}((C)) = (C_1)\) nên \((C_1)\) có PT là \(x^2 + (y-2.\sin(-90°))^2 = 8 \Leftrightarrow x^2+(y+2)^2 = 8\).
DẠNG 5: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường cong (H) bất kỳ (khác dạng toán 3, 4) qua phép quay \(Q_{(I,\alpha)}\), với \(I(a;b)\).
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Loại 1: Tìm ảnh của đường cong (H).
Bước 1: Gọi (H') là ảnh của (H) qua phép quay \(Q_{(I,\alpha)}\).
Bước 2: Với mọi điểm \(M(x;y) \in (H)\), \(M'(x';y') \in (H')\) sao cho \(Q_{(I,\alpha)}(M) = M'\).
Áp dụng biểu thức toạ độ ta có: \(\begin{cases} x'=\text{theo } x \\ y'=\text{theo } y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \text{theo } x' (1) \\ y = \text{theo } y' (2) \end{cases}\)
Bước 3: Do \(M(x;y) \in (H)\) nên thay (1), (2) vào phương trình (H), biến đổi về phương trình theo x', y'.
Bước 4: Do \(M'(x';y') \in (H')\) nên (H') có phương trình là: ..... (KL).
Loại 2: Tìm tạo ảnh của đường cong (H).
Chú ý: \(Q_{(I,\alpha)}(H_1) = (H) \Leftrightarrow Q_{(O,-\alpha)}(H) = (H_1)\)
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): \(y = x^2 - 2x + 3\). Tìm ảnh của parabol (P) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.
Lời giải
+ Gọi (P') là ảnh của (P) qua phép quay \(Q_{(O,180°)}\).
+) Với mọi điểm \(M(x;y) \in (P)\), \(M'(x';y') \in (P')\) sao cho \(Q_{(O,180°)}(M) = M'\).
+) Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' = -x \\ y' = -y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -x' \\ y = -y' \end{cases}\)
+) Do \(M(x;y) \in (P)\) nên ta có: \(-y' = (-x')^2 - 2(-x') + 3 \Leftrightarrow y' = -x'^2 - 2x' - 3\).
+) Do \(M'(x';y') \in (P')\) nên (P') có PT là \(y = -x^2 - 2x - 3\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong (E) có phương trình \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\). Viết phương trình đường cong \((E_1)\) sao cho (E) là ảnh của \((E_1)\) qua phép quay tâm O, góc quay -90°.
Lời giải
+) Theo đề ta có: \(Q_{(O,-90°)}(E_1) = E \Leftrightarrow Q_{(O,90°)}(E) = E_1\).
+) Với mọi điểm \(M(x;y) \in (E)\), \(M'(x';y') \in (E_1)\) sao cho \(Q_{(O,90°)}(M) = M'\).
+) Khi đó ta có: \(\begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = y' \\ y = -x' \end{cases}\)
+) Do \(M(x;y) \in (E)\) nên ta có \(\frac{(y')^2}{9} + \frac{(-x')^2}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{(x')^2}{4} + \frac{(y')^2}{9} = 1\).
+) Do \(M'(x';y') \in (E_1)\) nên \((E_1)\) có PT là \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
DẠNG 6: Ứng dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Xác định tâm quay O và góc quay \(\alpha\) hợp lý.
Bước 2. Sau đó sử dụng các tính chất sau để chứng minh:
i) Nếu \(Q_{(O,\alpha)}(A) = A'\) thì \(\begin{cases} OA = OA' \\ (OA,OA') = \alpha \end{cases}\)
ii) Nếu \(Q_{(O,\alpha)}(AB) = A'B'\) thì \(\begin{cases} AB = A'B' \\ (AB,A'B') = \alpha \end{cases}\)
iii) Nếu \(Q_{(O,\alpha)}(O) = O\), \(Q_{(O,\alpha)}(A) = A'\), \(Q_{(O,\alpha)}(B) = B'\) thì \(\begin{cases} Q_{(O,\alpha)}(AB) = A'B' \\ Q_{(O,\alpha)}(\Delta OAB) = \Delta OA'B' \end{cases}\)
iv) Nếu M, M' lần lượt là trung điểm của AB, A'B' và \(Q_{(O,\alpha)}(AB) = A'B'\) thì \(Q_{(O,\alpha)}(M) = M'\). Suy ra: \(\begin{cases} OM = OM' \\ (OM, OM') = \alpha \end{cases}\)
v) Nếu G, G' lần lượt là trọng tâm của \(\Delta OAB, \Delta OA'B'\) và \(Q_{(O,\alpha)}(\Delta OAB) = \Delta OA'B'\) thì \(Q_{(O,\alpha)}(G) = G'\). Suy ra: \(\begin{cases} OG = OG' \\ (OG,OG') = \alpha \end{cases}\)
Bước 3. Kết luận.
Chú ý: Trong quá trình chứng minh ta có thể sử dụng thêm các tính chất trong hình học phẳng hay kỹ năng vẽ thêm mới chứng minh được.
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh tam giác IMJ vuông cân.
Lời giải
+) Ta có: \(Q_{(A,90°)}(E) = B\), \(Q_{(A,90°)}(C) = F\).
Suy ra: \(Q_{(A,90°)}(EC) = BF \Rightarrow EC = BF\) và \(EC \perp BF\).
+) Mà: \(\begin{cases} 2MI = CE \\ 2MJ = BF \end{cases}\), \(\begin{cases} MI = MJ \\ MI \perp MJ \end{cases} \Rightarrow \Delta MIJ\) vuông cân tại M.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và \(AM = \frac{1}{2}FK\).
Lời giải
+) Gọi D là điểm đối xứng với B qua A.
+) Ta có: \(Q_{(A,90°)}(D) = F\), \(Q_{(A,90°)}(C) = K\).
Suy ra: \(Q_{(A,90°)}(DC) = FK \Rightarrow FK = DC, FK \perp DC\) (1).
+) Mà: AM là đường trung bình của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow AM = \frac{1}{2}DC\) (2)
+) Từ (1) và (2) suy ra: \(AM \perp FK\) và \(AM = \frac{1}{2}FK\).
Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Về phía ngoài tứ giác dựng các tam giác đều ABM và CDP. Về phía trong tứ giác, dựng hai tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh MNPK là hình bình hành.
Lời giải
+) Ta có: \(Q_{(B,60°)}(A) = M\), \(Q_{(B,60°)}(C) = N\).
Suy ra: \(Q_{(B,60°)}(AC) = MN \Rightarrow MN = AC\) (1).
+) Ta có: \(Q_{(D,60°)}(A) = K\), \(Q_{(D,60°)}(C) = P\).
Suy ra: \(Q_{(D,60°)}(AC) = KP \Rightarrow KP = AC\) (2).
+) Ta có: \(Q_{(A,-60°)}(B) = M\), \(Q_{(A,-60°)}(D) = K\).
Suy ra: \(Q_{(A,-60°)}(BD) = MK \Rightarrow MK = BD\) (3).
+) Ta có: \(Q_{(C,-60°)}(B) = N\), \(Q_{(C,-60°)}(D) = P\). Suy ra: \(Q_{(C,-60°)}(BD) = NP \Rightarrow NP = BD\) (4).
+) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\begin{cases} MN = KP \\ MK = NP \end{cases}\). Vậy tứ giác MNPK là hình bình hành.
DẠNG 7: Ứng dụng phép quay để tìm quỹ tích của điểm.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1. Tìm phép quay \(Q_{(O,\alpha)}(M) = N\), (với M là điểm thay đổi, N là điểm cần tìm quỹ tích, O là điểm cố định, góc \(\alpha\) không đổi).
Bước 2. Tìm quỹ tích điểm M.
Bước 3. Do điểm M chạy trên đường (H) nên điểm N chạy trên đường (H') là ảnh của đường (H) qua phép quay \(Q_{(O,\alpha)}\).
Bước 4. Vậy quỹ tích điểm N là đường (H').
Chú ý một số quỹ tích cơ bản:
1) Nếu \(AM = k\), (k không đổi, A cố định) thì M chạy trên đường tròn (C) tâm A, bán kính R = k.
2) Nếu \(MA = MB\), (A, B cố định) thì M chạy trên đường trung trực đoạn AB.
3) Nếu \(\widehat{AMB} = 90°\), (A, B cố định) thì M chạy trên đường tròn đường kính AB.
B. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Cho đường tròn (C) tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Tìm quỹ tích điểm E.
Lời giải
+) Ta có: \(\begin{cases} BA = BE \\ (BA,BE) = 90° \end{cases} \Rightarrow Q_{(B,90°)}(A) = E.\)
+) Do A chạy trên đường tròn (C) nên E chạy trên đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay \(Q_{(B,90°)}\).
+) Vậy quỹ tích điểm E là đường tròn (C').
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d. Với mỗi điểm A nằm trên d ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích điểm B khi A chạy trên d.
Lời giải
+) Do tam giác ABC đều có tâm G nên ta có:
\(\begin{cases} GA = GB \\ (GA,GB) = 120° \end{cases} \Rightarrow Q_{(G,120°)}(A) = B.\)
+) Do A chạy trên đường thẳng d nên B chạy trên đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay \(Q_{(G,120°)}\).
+) Vậy quỹ tích điểm B là đường thẳng d'.
DẠNG TOÁN 8. Các bài toán thực tế.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Chọn phép quay tâm A, góc quay 60°.
Ta có: \(Q_{(A,60°)}(M) = N\) nên \(\begin{cases} AM = AN = MN \end{cases}\)
\(Q_{(A,60°)}(C) = D\) nên \(\begin{cases} AC = AD \\ MC = ND \end{cases}\)
Suy ra: \(MA + MB + MC = MN + MB + ND \ge BD\).
Khi đó: \(MA + MB + MC\) đạt GTNN \(\Leftrightarrow MA + MB + MC = BD \Leftrightarrow M, N \in BD\).
+) Xác định vị trí điểm M: Do \(M, N \in BD\) nên ta có: \(\begin{cases} \widehat{AMB} = 180° - 60° = 120° \\ \widehat{AMC} = \widehat{AND} = 180° - 60° = 120° \end{cases}\). Vậy M nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới một góc bằng 120°.
Ví dụ 2. Bạn Nam và bạn Minh chơi trò chơi xoay Rubic. Nam đố Minh khi xoay tầng thứ nhất để lộ ra tầng thứ hai. Hãy xác định góc \(\alpha\) tạo bởi giữa cạnh hình vuông tầng 1 và cạnh hình vuông tầng 2 sao cho giao của hai hình vuông đó có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải
Qua phép quay ta có:
\(\Delta A_1EF = \Delta C_1LK \Rightarrow EF = KL, A_1E = C_1K, A_1F = C_1L\)
\(\Delta B_1GH = \Delta D_1MN \Rightarrow GH = MN, B_1G = D_1M, B_1H = D_1N\)
\(\Delta BGF = \Delta DML \Rightarrow GF = ML, BG = DM, BF = DL\)
\(\Delta CHK = \Delta ANE \Rightarrow HK = NE, CH = NA, CK = AE.\)
Suy ra phần giao của hai hình vuông \(ABCD, A_1B_1C_1D_1\) là bát giác EFGHKLMN có chu vi là: \(y = 2(EF + FG + GH + HK)\)
Ta có:
\(EF = \sqrt{A_1E^2 + A_1F^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(A_1E+A_1F)\)
\(FG = \sqrt{BF^2 + BG^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(BF+BG)\)
\(GH = \sqrt{B_1G^2 + B_1H^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(B_1G+B_1H)\)
\(HK = \sqrt{CH^2 + CK^2} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}(CH+CK)\)
Cộng vế với vế ta có:
\(y \ge 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1E+A_1F + BF + BG + B_1G+B_1H+CH+CK)\)
Thay \(A_1E = C_1K, CK = AE\). Ta có:
\(y \ge \sqrt{2}[(AE+BF)+(A_1F+B_1G)+(BG+CH)+(B_1H+C_1K)]\)
Gọi x là cạnh hình vuông ta có:
\(y \ge \sqrt{2}(x-EF+x-GF+x-GH+x-HK)\)
\(\Rightarrow y \ge \sqrt{2}(4x-\frac{y}{2}) \Rightarrow y \ge 8x(\sqrt{2}-1)\)
\(\Rightarrow \min y = 8x(\sqrt{2}-1), "=" \Leftrightarrow EN = x(\sqrt{2}-1)\).
(Giao của hai hình vuông là bát giác đều và góc tạo thành giữa AD và \(A_1D_1\) hợp với nhau góc \(\alpha = 45°\)).
BÀI TẬP KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 45 phút)
Bài 1. Cho tam giác đều ABC có tâm là O, (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).
Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay 120°.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho \(d: x-2y+3=0\), và \((C): (x-1)^2+y^2=9\).
a) Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay -90°.
b) Viết phương trình đường tròn \((C_1)\) sao cho (C) là ảnh của đường tròn \((C_1)\) qua phép quay tâm B(-2;3), góc quay 180°.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân tại đỉnh D.
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ.
Bài 4. Cho đường tròn (C) và điểm A cố định trên (C). Gọi M là điểm chạy trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ANMP. Tìm quỹ điểm N.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN
Bài 1. \(Q_{(O,120°)}(\Delta OAB) = \Delta OCA.\)
Bài 2. a) \(d': 2x+y-3=0\). b) \((C'): (x+5)^2+(y-6)^2=9\).
Bài 3.
a) + \(Q_{(C,-90°)}(I) = B\), \(Q_{(C,-90°)}(A) = M \Rightarrow Q_{(C,-90°)}(IA) = BM\). Suy ra \(IA \perp BM, IA = BM\) (1).
+ Có DO là đường trung bình của \(\Delta ABI \Rightarrow DO = \frac{1}{2}AI\) (2).
+ Có DP là đường trung bình của \(\Delta ABM \Rightarrow DP = \frac{1}{2}BM\) (3).
+ Từ (1), (2) và (3) suy ra \(DO \perp DP, DO = DP \Rightarrow \Delta DOP\) vuông cân tại D.
b) + \(Q_{(D,-90°)}(Q) = A\), \(Q_{(D,-90°)}(P) = O \Rightarrow Q_{(D,-90°)}(QP) = AO\)
+ Theo tính chất phép quay suy ra \(QP \perp OA, QP = OA\).
Bài 4. + \(Q_{(A,-45°)}(M) = B\), \(V_{(A, \frac{\sqrt{2}}{2})}(B) = N\)
+ Quỹ tích điểm N là đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép \(Q_{(A,-45°)}, V_{(A, \frac{\sqrt{2}}{2})}\)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho tam giác đều ABC có tâm là O, (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).
a) Tìm ảnh của điểm B, đoạn thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 60°.
b) Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay -120°.
c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm A góc quay 180°.
Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O, (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ).
a) Tìm ảnh của đoạn thẳng BC, tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60°.
b) Tìm ảnh của tam giác ABC, tam giác ACD qua phép quay tâm A góc quay 60°.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;-5). Tìm tọa độ điểm N là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O(0;0) góc quay 90°.
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3;4). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 60°.
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm P(-3;2). Tìm toạ độ điểm Q sao cho điểm P là ảnh của Q qua phép quay tâm I(2;3), góc quay 270°.
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: \(\begin{cases} x = 2-3t \\ y = -1+2t \end{cases}\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay –180°.
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: \(\frac{x-2}{3} = y+3\). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I(-1;2), góc quay -270°.
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\): x – 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta'\) là ảnh của đường thẳng \(\Delta\) qua phép quay tâm O, góc quay 45°?
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) sao cho d là ảnh của đường thẳng \(\Delta\) qua phép quay tâm I(3;-2), góc quay –180°.
Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \((x-1)^2 + y^2 = 9\). Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay –180°.
Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \(x^2 + y^2 – 4x + 6y - 12 = 0\). Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A(2;0), góc quay 270°.
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \((x-2)^2 + (y+4)^2 = 16\). Viết phương trình đường tròn \((C_1)\) sao cho (C) là ảnh của đường tròn \((C_1)\) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \(x^2 + y^2 – 4x + 2y - 5 = 0\). Viết phương trình đường tròn \((C_1)\) sao cho (C) là ảnh của đường tròn \((C_1)\) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.
Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): \(y = x^2 - 5x + 3\). Tìm ảnh của parabol (P) qua phép quay tâm I(1;2), góc quay 180°.
Bài 16. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): \(y^2 = 4x\). Tìm ảnh của parabol (P) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
Bài 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong (E) có phương trình \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\). Viết phương trình đường cong \((E_1)\) sao cho (E) là ảnh của \((E_1)\) qua phép quay tâm O, góc quay –90°.
Bài 18. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE, BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh tam giác BMN đều.
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Dựng bên ngoài ABCD các hình vuông ABEF và BCGH. Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông trên. Chứng minh tam giác IOJ vuông cân.
Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C, D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của tam giác ABC.
Bài 21. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H trung điểm của BC. Chứng minh EG = 2AH.
Bài 22. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi K, H lần lượt là chân các đường phân giác trong của các tam giác ABE và ACD kẻ từ A. Gọi I trung điểm của AK. Chứng minh HI \(\perp\) AK.
Bài 23. Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên (O). Gọi \(M_1\) là điểm đối xứng với M qua A, \(M_2\) là điểm đối xứng với \(M_1\) qua B và \(M_3\) là điểm đối xứng với \(M_2\) qua C. Tìm quỹ tích điểm \(M_3\).
Bài 24. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CB. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E, C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). Tìm quỹ tích điểm D.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) \(Q_{(O,60°)}(B) = B_1\), với \(B_1\) đối xứng với C qua O.
\(Q_{(O,60°)}(BC) = B_1C_1\), với \(C_1\) đối xứng với A qua O.
b) \(Q_{(O,-120°)}(\Delta OAB) = \Delta OBC.\)
c) \(Q_{(A,180°)}(\Delta ABC) = \Delta AB_1C_1\), với \(B_1, C_1\) lần lượt đối xứng B, C qua A.
Bài 2:
a) \(Q_{(O,60°)}(BC) = CD.\)
b) \(Q_{(A,60°)}(\Delta ABC) = \Delta AOE\), \(Q_{(A,60°)}(\Delta ACD) = \Delta AED_1\), với \(D_1\) đối xứng A qua F.
Bài 3: N(5;-1).
Bài 4: M\((\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}; \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2)\).
Bài 5: Q(1;8).
Bài 6: d': 3x - 2y + 1 = 0.
Bài 7: d': 5x - 2y - 3 = 0.
Bài 8: d': 3x + y - 17 = 0.
Bài 9: \(\Delta'\): 2x - y + \(\sqrt{2}\) = 0.
Bài 10: \(\Delta\): x - y - 13 = 0.
Bài 11: (C'): \((x+1)^2 + y^2 = 9\).
Bài 12: (C'): \((x+1)^2 + y^2 = 25\).
Bài 13: (C'): \((x+4)^2 + (y+2)^2 = 16\).
Bài 14: \((C_1)\): \((x+2)^2 + (y-1)^2 = 10\).
Bài 15: (P'): \(y = -x^2 - x + 7\).
Bài 16: (P'): \(y = \frac{x^2}{4}\).
Bài 17: \((E_1)\): \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1\).
Bài 18:
\(Q_{(B,60°)}\) biến các điểm E, C lần lượt thành các điểm A, F nên \(Q_{(B,60°)}\) biến đường thẳng EC thành đường thẳng AF nên AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60°.
\(Q_{(B,60°)}\) cũng biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF nên BN = BM và \((\widehat{BN,BM}) = 60°\), do đó tam giác BMN đều.
Bài 19:
+) \(Q_{(B,90°)}(AH) = EC \Rightarrow \begin{cases} AH = EC \\ AH \perp EC \end{cases}\)
+) Mà \(\begin{cases} AH = 2OJ \\ CE = 2OI \end{cases}\) nên tam giác IOJ vuông cân tại O.
Bài 20:
Gọi M, O lần lượt là tâm của hai hình vuông ABDE và ACIJ. Trên tia đối của tia AH dựng AK = BC, gọi \(Q_{(M,90°)}\) là phép quay tâm M góc quay 90°, gọi \(Q_{(O,90°)}\) là phép quay tâm O góc quay 90°.
Có \(C = Q_{(O,90°)}(A)\), \(\begin{cases} AK \perp BC \\ AK = BC \end{cases} \Rightarrow BC = Q_{(O,90°)}(KA) \Rightarrow B = Q_{(O,90°)}(K)\).
Ngoài ra \(I = Q_{(O,90°)}(C)\). Từ đó suy ra BI là ảnh của KC qua phép quay tâm O góc quay 90° nên BI \(\perp\) KC (1).
Có \(B = Q_{(M,-90°)}(A)\), \(\begin{cases} AK \perp BC \\ AK = BC \end{cases} \Rightarrow BC = Q_{(M,-90°)}(KA) \Rightarrow C = Q_{(M,-90°)}(K)\).
Ngoài ra \(D = Q_{(M,-90°)}(B)\). Từ đó suy ra CD là ảnh của KB qua phép quay tâm O góc quay 90° nên CD \(\perp\) KB (2).
Gọi P = BI \(\cap\) CD \(\Rightarrow\) P là trực tâm của tam giác KBC hay P \(\in\) KH \(\Leftrightarrow\) P \(\in\) AH.
Bài 21:
Gọi \(B' = Q_{(A,90°)}(B) \Rightarrow \begin{cases} AB' = AB \\ (\widehat{AB,AB'}) = 90° \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AB' = AB = AE \\ \widehat{EAB'} = 180° \end{cases} \Rightarrow\) E, A, B' thẳng hàng và A trung điểm của EB' (1).
Lại có \(\begin{cases} AG = AC \\ (\widehat{AC,AG}) = 90° \end{cases} \Rightarrow G = Q_{(A,90°)}(C)\).
Gọi \(J = Q_{(A,90°)}(H) \Rightarrow AJ = AH\) và J là trung điểm của B'G (Vì H trung điểm của BC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra AJ là đường trung bình của \(\Delta B'EG \Rightarrow EG = 2AJ = 2AH\).
Bài 22:
Ta có \(\Delta ABD\) đều \(\Rightarrow \begin{cases} AB = AD \\ (\widehat{AB,AD}) = 60° \end{cases} \Rightarrow B = Q_{(A,60°)}(D)\).
Ta có \(\Delta ACE\) đều \(\Rightarrow \begin{cases} AE = AC \\ (\widehat{AE,AC}) = 60° \end{cases} \Rightarrow E = Q_{(A,60°)}(C)\).
Suy ra \(\Delta ABE = Q_{(A,60°)}(\Delta ADC) \Rightarrow AK = Q_{(A,60°)}(AH)\).
Suy ra \(K = Q_{(A,60°)}(H) \Rightarrow \begin{cases} AK = AH \\ (\widehat{AK,AH}) = 60° \end{cases} \Rightarrow \Delta AHK\) đều.
Suy ra HI \(\perp\) AK (trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Bài 23: Quỹ tích điểm \(M_3\) là đường tròn (O') là ảnh của (O) qua phép quay tâm D, góc quay 90°.
Bài 24: Quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB qua phép quay tâm P, góc quay \(\alpha\) với P là trung điểm cung AB và \(\alpha = \widehat{APB} = 90°\).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
[kiemtraquiz]
Câu 1: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc \(\alpha\) với \(0 \le \alpha < 2\pi\), biến tam giác trên thành chính nó?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 2: Cho hình vuông tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay \(\varphi\). Với giá trị nào sau đây của \(\varphi\), phép quay Q biến hình vuông thành chính nó?
A. \(\varphi = \frac{\pi}{6}\)
B. \(\varphi = \frac{\pi}{4}\)
C. \(\varphi = \frac{\pi}{3}\)
D. \(\varphi = \frac{\pi}{2}\)
Câu 3: Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc \(\alpha\) với \(0 \le \alpha < 2\pi\), biến hình vuông trên thành chính nó?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 4: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc \(\alpha\) với \(\alpha \neq k2\pi\) (k là một số nguyên)?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 5: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C.
A. \(\varphi = 30^\circ\).
B. \(\varphi = 90^\circ\).
C. \(\varphi = -120^\circ\).
D. \(\varphi = 60^\circ\) hoặc \(\varphi = -60^\circ\).
Câu 6: Cho hình chữ nhật tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc \(\alpha\) với \(0 \le \alpha < 2\pi\), biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 7: Cho tam giác đều tâm O. Với giá trị nào dưới đây của \(\varphi\) thì phép quay \(Q_{(O, \varphi)}\) biến tam giác đều thành chính nó?
A. \(\varphi = \frac{\pi}{3}\)
B. \(\varphi = \frac{2\pi}{3}\)
C. \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\)
D. \(\varphi = \frac{\pi}{2}\)
Câu 8: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C.
A. \(\varphi = 30^\circ\).
B. \(\varphi = 90^\circ\).
C. \(\varphi = -120^\circ\).
D. \(\varphi = 60^\circ\) hoặc \(\varphi = -60^\circ\).
Câu 9: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc \(\alpha\) với \(0 < \alpha < 2\pi\), biến tam giác trên thành chính nó?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 10: Cho hình vuông tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay \(\varphi\). Với giá trị nào sau đây của \(\varphi\), phép quay Q biến hình vuông thành chính nó?
A. \(\varphi = \frac{\pi}{6}\)
B. \(\varphi = \frac{\pi}{4}\)
C. \(\varphi = \frac{\pi}{3}\)
D. \(\varphi = \frac{\pi}{2}\)
Câu 11: Cho hình thoi ABCD có góc \(\widehat{ABC} = 60^\circ\) (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua phép quay \(Q_{(A; 60^\circ)}\) là:
A. AB.
B. BC.
C. CD.
D. DA.
Câu 12: Cho tam giác đều ABC tâm O và các đường cao AA', BB', CC' (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA' qua phép quay tâm O góc quay \(240^\circ\) là:
A. AA'.
B. BB'.
C. CC'.
D. BC.
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng \(60^\circ\) (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD. Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay \(60^\circ\) là:
A. AD.
B. AI với I là trung điểm CD.
C. CJ với J là trung điểm AD.
D. DK với K là trung điểm AC.
Câu 14: Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d'. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 15: Cho phép quay \(Q_{(O; \varphi)}\) biến điểm A thành điểm A' và biến điểm M thành điểm M'. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AM = A'M'.
B. \((OA, OA') = (OM, OM') = \varphi\).
C. \((\vec{AM}, \vec{A'M'}) = \varphi\) với \(0 \le \varphi \le \pi\).
D. AM = A'M'.
Câu 16: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép quay \(Q_{(O; \varphi)}\) biến điểm O thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay \(-180^\circ\).
C. Nếu \(Q_{(O; 90^\circ)}(M) = M' (M \neq O)\) thì OM' > OM.
D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay \(180^\circ\).
Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay \(\frac{\pi}{2}\).
A. A'(0; -3).
B. A'(0; 3).
C. A'(-3; 0).
D. A'(\(2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}\)).
Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay \(-\frac{\pi}{2}\).
A. A'(-3; 0).
B. A'(3; 0).
C. A'(0; -3).
D. A'(\(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}\)).
Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A(1;0) thành điểm A'(0;1). Khi đó nó biến điểm M(1;-1) thành điểm:
A. M'(-1; -1).
B. M'(1; 1).
C. M'(-1; 1).
D. M'(1; 0).
Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(2;0) và N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N, khi đó góc quay của nó là:
A. \(\varphi = 30^\circ\).
B. \(\varphi = 30^\circ\) hoặc \(\varphi = 45^\circ\).
C. \(\varphi = 90^\circ\).
D. \(\varphi = 90^\circ\) hoặc \(\varphi = 270^\circ\).
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay \(Q_{(O; -90^\circ)}\) là:
A. M'(1; 6).
B. M'(-1; -6).
C. M'(-6; -1).
D. M'(6; 1).
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép quay \(Q_{(O; 90^\circ)}\), M'(3; -2) là ảnh của điểm
A. M(3; 2)
B. M(-2; -3)
C. M(2; 3)
D. M(-3; -2)
Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Hỏi các điểm sau, điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay \(\varphi = 45^\circ\)?
A. \(M_1(-1; 1)\).
B. \(M_2(1; 0)\).
C. \(M_3(\sqrt{2}; 0)\).
D. \(M_4(0; \sqrt{2})\).
Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là \(2x + y + 5 = 0\) và \(x - 2y - 3 = 0\). Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay \(\varphi\) (\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ\)) là:
A. 45°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
Câu 25: Cho hình vuông ABCD tâm O như hình bên. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Ảnh của tam giác OAM qua phép quay tâm O góc \(90^\circ\) là
[chitiet]
[/chitiet]
A. Tam giác ODQ.
B. Tam giác OBN.
C. Tam giác OAQ.
D. Tam giác OCN.
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d: 3x - y + 2 = 0\). Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay \(-90^\circ\).
A. d': \(3x - y - 6 = 0\).
B. d': \(x - 3y - 2 = 0\).
C. d': \(x + 3y - 2 = 0\).
D. d': \(x - 3y + 2 = 0\).
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x - y + 2 = 0\). Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của \(\Delta\) qua phép quay tâm O, góc quay \(90^\circ\).
A. d: \(x + y + 2 = 0\).
B. d: \(x - y + 2 = 0\).
C. d: \(x + y - 2 = 0\).
D. d: \(x + y + 4 = 0\).
Câu 28: Cho lục giác đều ABCD tâm O như hình vẽ bên. Tam giác EOD là ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O góc \(\alpha\). Tìm \(\alpha\).
[chitiet]
[/chitiet]
A. \(\varphi = 60^\circ\).
B. \(\varphi = -60^\circ\).
C. \(\varphi = 120^\circ\).
D. \(\varphi = -120^\circ\).
Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d' có phương trình \(x + y - 2 = 0\) là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc \(90^\circ\). Phương trình đường thẳng d là
A. \(x - y + \sqrt{2} = 0\).
B. \(x + y + 2 = 0\).
C. \(x - y + 2 = 0\).
D. \(x - y - 2 = 0\).
Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là \(4x + 3y + 5 = 0\) và \(x + 7y - 4 = 0\). Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay \(\varphi\) (\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ\)) là:
A. 45°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm I(3;1), J(-1;-1). Tìm ảnh của J qua phép quay \(Q_{(I; -90^\circ)}\).
A. J'(-3; 3).
B. J'(1; -5).
C. J'(1; 5).
D. J'(5; -3).
Câu 32: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M trong tam giác sao cho \(MA = 1\), \(MB = 2\), \(MC = \sqrt{2}\). Tính góc \(\widehat{AMC}\).
A. 135°.
B. 120°.
C. 160°.
D. 150°.
[dapan=1C,2D,3D,4B,5D,6B,7B,8D,9C,10D,11B,12B,13D,14D,15A,16C,17B,18C,19B,20C,21A,22B,23D,24C,25A,26C,27A,28D,29C,30A,31C,32A]
