Bài 23: HIỆN TƯỢNG PHÓNG XẠ
I.HIỆN TƯỢNG PHÓNG XẠ
1. Định nghĩa hiện tượng phóng xạ
- Thí nghiệm buồng sương: Khi đặt mẫu quặng uranium vào trong buồng sương, chúng ta thấy có nhiều vết sương màu trắng có dạng như các tia đi ra từ mẫu phóng xạ ở các hướng và các thời điểm ngẫu nhiên khác nhau. Các vết sương dạng này chính là đường đi của các hạt phóng ra từ mẫu quặng uranium, gọi là các tia phóng xạ.
Ngoài quặn uranium còn có rất nhiều chất có thể phát ra tia phóng xạ.
* Tia phóng xạ không nhìn thấy được bằng mắt thường, nhưng có thể có những tác dụng như: ion hóa không khí, gây ra các hiệu ứng quang điện, phát xạ thứ cấp, làm đen kính ảnh, xuyên thấu lớp vật chất mỏng, phá hủy tế bào, kích thích một số phản ứng hóa học,...
$X \to Y + \text{Tia phóng xạ}$
- Hiện tượng một hạt nhân không bền vững tự phát biến đổi thành một hạt nhân khác đồng thời phát ra tia phóng xạ gọi là hiện tượng phóng xạ.
Quá trình biến đổi hạt nhân này còn được gọi là phân rã phóng xạ hoặc phân ra hạt nhân.
- Hạt nhân không bền vững, tự phân rã được gọi là hạt nhân mẹ. Hạt nhân được tạo thành, bền vững hơn được gọi là hạt nhân con.
2. Tính ngẫu nhiên của phân rã phóng xạ:
* Xét thí nghiệm đếm tia phóng xạ như hình dưới đây.
- Nguồn phóng xạ (1) được đặt gần một đầu thu phóng xạ Geiger-Müller (2) theo một phương xác định. Mỗi khi có tia phóng xạ từ nguồn đến đầu thu, nó sẽ gửi tín hiệu đến thiết bị chuyển đổi tín hiệu (3) làm loa (4) phát ra một xung âm thanh đồng thời số đếm tia phóng xạ được hiển thị trên màn hình (5) sẽ nhảy lên 1 đơn vị. Kết quả thí nghiệm sau mỗi 5 s liên tiếp được thể hiện trong bảng dưới đây.
| Khoảng thời gian (s) | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số tia phóng xạ | 1 | 3 | 2 | 0 | 3 | 1 |
* Bằng nhiều thí nghiệm khác nữa, người ta đã thấy quá trình phóng xạ là ngẫu nhiên. Với một hạt nhân phóng xạ cho trước, thời điểm phân rã của nó là không xác định.
3. Các tia phóng xạ
- Khi cho các tia phóng xạ đi qua điện trường hoặc từ trường, các tia phóng xạ có thể lệch theo các hướng khác nhau.
Người ta thường phân thành 3 dạng: phóng xạ alpha (kí hiệu $\alpha$), phóng xạ beta (gồm $\beta^+$ và $\beta^-$) và phóng xạ gamma (kí hiệu là $\gamma$ )
3.1. Tia alpha $\alpha$
- Là dòng các hạt nhân $^4_2He$ (hạt $\alpha$), chuyển động với tốc độ khoảng $2 \cdot 10^7 m/s$.
- Tia alpha làm ion hoá mạnh các nguyên tử khác trên đường đi của nó và nhanh chóng mất năng lượng.
- Tia alpha chỉ đi được tối đa vài cm trong không khí và có khả năng đâm xuyên kém, có thể bị chặn bởi tờ bìa giấy dày khoảng 1 mm.
Phương trình phóng xạ $\alpha$: $^A_Z X \to ^{A-4}_{Z-2}Y + ^4_2He$
3.2. Tia beta $\beta$
- Có hai loại tia $\beta$
+ Tia $\beta^-$ là dòng các hạt electron (kí hiệu $e^-$).
+ Tia $\beta^+$ là dòng các hạt positron (kí hiệu $e^+$). Positron có khối lượng bằng khối lượng hạt electron và có điện tích +e (gọi là phản hạt của electron).
- Tia $\beta$ có tốc độ có thể đạt xấp xỉ bằng tốc độ ánh sáng trong chân không.
- Tia $\beta$ có khả năng ion hoá các nguyên tử trên đường đi của nó nhưng yếu hơn tia $\alpha$.
- Tia $\beta$ có thể đi vài mét trong không khí và cả khả năng đâm xuyên mạnh hơn tia $\alpha$ (có thể xuyên qua một phần lá nhôm dày cỡ milimet)
- Trong phóng xạ $\beta$, ngoài các hạt $\beta^+, \beta^-$ và hạt nhân con, hạt nhân mẹ còn phóng ra một loại tia đặc biệt gồm các hạt neutrino (kí hiệu $\nu$) và phản hạt neutrino (kí hiệu $\bar{\nu}$) không mang điện, có khối lượng nghỉ vô cùng nhỏ.
Phương trình phân rã phóng xạ $\beta$:
$^A_Z X \to ^A_{Z+1} Y + e^- + \bar{\nu}$; $^A_Z X \to ^A_{Z-1} Y + e^+ + \nu$
- Ví dụ: $^{14}_6C \to ^{14}_7N + e^- + \bar{\nu}$; $^{23}_{12}Mg \to ^{23}_{11}Na + e^+ + \nu$
3.3. Phóng xạ gamma
- Tia gamma ($\gamma$) là sóng điện từ có bước sóng rất ngắn ($<10 c="" cao.="" h="" l="" m="" n="" ng="" p="" photon="" t="">
Tia $\gamma$ có khả năng đâm xuyên lớn, nó có thể đi được khoảng một mét trong bê tông hoặc vài centimet trong chì trước khi bị hấp thụ hoàn toàn.
Để che chắn tia $\gamma$, người ta thường sử dụng những vật liệu có nguyên tử lượng lớn như chì (Pb)
- Tia $\gamma$ thường là tia phóng xạ kèm theo các tia $\alpha$ và $\beta$
II. ĐỊNH LUẬT PHÓNG XẠ. ĐỘ PHÓNG XẠ
1. Định luật phóng xạ
- Trong quá trình phân rã, số hạt nhân chất phóng xạ còn lại giảm theo thời gian theo định luật hàm số mũ
$N_t = N_0e^{-\lambda t}$
N$_t$: Số hạt nhân chất phóng xạ còn lại sau thời gian t,
N$_0$: Số hạt nhân chất phóng xạ tại thời điểm ban đầu,
T: chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ,
$\lambda = \frac{ln 2}{T}$: hằng số phóng xạ;
- Cứ sau một khoảng thời gian T thì một nửa số hạt nhân phóng xạ bị phân rã
- Hằng số phóng xạ $\lambda$ đặc trưng cho từng chất phóng xạ, hằng số phóng xạ càng lớn thì chất phóng xạ phân rã càng nhanh.
| Đồng vị phóng xạ | Chu kì bán rã T |
|---|---|
| Carbon ($^{14}_6C$) | 5,7·10³ năm |
| Iodine ($^{131}_{53}I$) | 8,0 ngày |
| Oxygen ($^{15}_8O$) | 1,2·10² giây |
| Polonium ($^{210}_{84}Po$) | 1,4·10² ngày |
| Radium ($^{226}_{88}\text{Ra}$) | $1,6 \cdot 10^3$ năm |
| Radon ($^{222}_{86}\text{Rn}$) | 4,0 giây |
| Uranium ($^{235}_{92}\text{U}$) | $7,0 \cdot 10^8$ năm |
2. Độ phóng xạ
- Để đặc trưng cho tính phóng xạ mạnh hay yếu của một lượng chất phóng xạ, người ta dùng đại lượng độ phóng xạ (hay hoạt độ phóng xạ), kí hiệu là H, có giá trị bằng số hạt nhân phân rã trong một giây.
- Đơn vị đo của độ phóng xạ là becoren (Bq): 1Bq = 1 phân rã / giây
- Đơn vị đó khác: $1\text{Ci(Curi)} = 3,7 \cdot 10^{10} \text{ Bq}$, xấp xỉ bằng độ phóng xạ của một gam $^{226}_{88}\text{Ra}$
- Đạo hàm theo thời gian của số hạt nhân chưa phân rã tại thời điểm t, ta có:
$H_t = |\frac{dN_t}{dt}|$
(dấu "-" thể hiện sự suy giảm số hạt nhân của lượng chất phóng xạ)
- Lại có, $N_t = N_0e^{-\lambda t}$ suy ra: $H_t = - \frac{d(N_0e^{-\lambda t})}{dt} = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda t} = \lambda \cdot N_t$
- Độ phóng xạ tại mỗi thời điểm bằng tích của hằng số phóng xạ và số lượng hạt nhân phóng xạ còn lại trong chất phóng xạ tại thời điểm đang xét
$H_t = \lambda \cdot N_t$
- Độ phóng xạ cũng giảm theo quy luật hàm số mũ
$H_t = H_0 \cdot e^{-\lambda t} = H_0 \cdot 2^{-t/T}$
($H_0 = \lambda \cdot N_0$ hoạt độ phóng xạ tại thời điểm ban đầu)
III. ẢNH HƯỞNG CỦA TIA PHÓNG XẠ. BIỂN CẢNH BÁO PHÓNG XẠ
1) Tia phóng xạ
Tia phóng xạ là tia không nhìn thấy được nhưng có các tính chất như: ion hóa, gây ra các hiệu ứng quang điện, phát xạ thứ cấp, làm đen kính ảnh, xuyên thấu lớp vật chất mỏng, phá hủy tế bào, kích thích một số phản ứng hóa học,...
2) Ảnh hưởng của tia phóng xạ
Ảnh hưởng của tia phóng xạ lên cơ thể người phụ thuộc vào cường độ, khả năng ion hóa, khả năng đâm xuyên, thời gian chiếu sáng, ... của tia phóng xạ
3) Biển cảnh báo phóng xạ
+ Được đặt tại khu vực có thiết bị phát ra tia phóng xạ hoặc trên chính thiết bị và vật chứa nguồn phóng xạ.
+ Mục đích: cảnh báo mọi người không nên tiếp cận hoặc làm hỏng thiết bị.
4) Nguyên tắc an toàn phóng xạ
Nguyên tắc an toàn khi làm việc với nguồn phóng xạ :
- Giữ khoảng cách đủ xa với nguồn phóng xạ.
- Sử dụng tấm chắn nguồn phóng xạ đủ tốt.
- Giảm thiểu thời gian phơi nhiễm phóng xạ.
Hình 23.8. Biển cảnh báo phóng xạ
BÀI TẬP
Câu 1: Viết phương trình phản ứng hạt nhân của các quá trình phóng xạ sau:
a) Hạt nhân chì Pb biến thành hạt nhân bismuth $^{209}_{83}\text{Bi}$ trong quá trình phóng xạ $\beta^-$ có kèm theo một phản neutrino.
b) Quá trình phóng xạ $\beta^+$ biến hạt nhân carbon $^{10}_6\text{C}$ thành hạt nhân boron B.
c) Hạt nhân thorium Th phóng xạ $\alpha$ và biến đổi thành hạt nhân radium $^{228}_{88}\text{Ra}$.
Giải
a) $^{209}_{82}\text{Pb} \to ^{209}_{83}\text{Bi} + e^- + \bar{\nu}_e$
b) $^{10}_6\text{C} \to ^{10}_5\text{B} + e^+ + \nu_e$
c) $^{230}_{90}\text{Th} \to ^{228}_{88}\text{Ra} + ^4_2\text{He}$
Câu 2: Trên thực tế, nếu một hạt nhân không bền phóng xạ tạo thành hạt nhân mới. Hạt nhân mới cũng không bền tiếp tục phân rã nhiều lần đến khi tạo thành một hạt nhân bền thì quá trình này dừng lại. Tập hợp các hạt nhân từ hạt nhân không bền đầu tiên đến hạt nhân bền cuối cùng được gọi là một họ phóng xạ. Xét sự phóng xạ của họ phóng xạ thorium (bắt đầu với $^{232}_{90}\text{Th}$ và kết thúc tại $^{208}_{82}\text{Pb}$) với phương trình phóng xạ thu gọn như sau: $^{232}_{90}\text{Th} \to ^{208}_{82}\text{Pb} + x \cdot \beta^- + y \cdot \alpha$. Hãy xác định giá trị của x và y.
Giải
- Dựa trên định luật bảo toàn điện tích và bảo toàn số nucleon, ta lập được hệ phương trình sau:
$\begin{cases} 232 = 208 + 4y \\ 90 = 82 - x + 2y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4y = 232 - 208 \\ x = 82 + 2y - 90 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4y = 24 \\ x = 2y - 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 6 \\ x = 2(6) - 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 6 \\ x = 4 \end{cases}$
Câu 3: Xét đồng vị không bền của nickel là $^{66}_{28}\text{Ni}$ phát ra tia phóng xạ $\beta^-$ và biến thành hạt nhân con $^{66}_{29}\text{Cu}$ Biết rằng khối lượng của các hạt nhân trên lần lượt là $m_{Ni} = 65,929 \text{amu}$ và $m_{Cu} = 65,9289 \text{amu}$; năng lượng tỏa ra của quá trình phóng xạ được xác định bởi biểu thức $W = (m_1 - m_2)c^2$ với $m_1$ và $m_2$ lần lượt là tổng khối lượng của các hạt trước và sau phản ứng.
a) Viết phương trình phân rã của $^{66}_{28}\text{Ni}$
b) Tính năng lượng tỏa ra của quá trình phóng xạ nói trên.
Giải
a) $^{66}_{28}\text{Ni} \to e^- + ^{66}_{29}\text{Cu}$
b) Vì khối lượng của electron là không đáng kể nên năng lượng tỏa ra của quá trình phóng xạ là:
$W = (m_{Ni} - m_{Cu}) c^2 = (65,9291 - 65,9289) \cdot 931,5 = 0,09315 (\text{MeV})$.
Câu 4: Cho một mẫu chất đang chứa $N_0$ hạt nhân với chu kì bán rã T vào thời điểm ban đầu ($t_0 = 0 $). Tính số hạt nhân đã phóng xạ tại thời điểm $t = 2T$.
Giải
- Số hạt nhân đã phóng xạ là: $\Delta N = N_0 - N_t = N_0 - N_0 2^{-t/T} = N_0 (1 - 2^{-2T/T}) = N_0 (1 - 2^{-2}) = N_0 (1 - 1/4) = \frac{3}{4}N_0$
Câu 5: Ban đầu có $12,0 \text{ g}$ cobalt $^{60}_{27}\text{Co}$ là chất phóng xạ $\beta^-$ với chu kì bán rã $T = 5,27 \text{ năm}$. Tính số nguyên tử đã phân rã sau thời gian $t = 10,54 \text{ năm}$.
Giải
- Áp dụng công thức: $\Delta N = N_0 (1 - 2^{-t/T}) = \frac{12,0}{60} N_A (1 - 2^{-10,54/5,27}) = \frac{12,0}{60} N_A (1 - 2^{-2,0}) = \frac{12,0}{60} \cdot 6,023 \cdot 10^{23} \cdot \frac{3}{4} = 9,03 \cdot 10^{22} \text{ hạt nhân}$.
Câu 6: Một mẫu chất phóng xạ $\beta^+$ là $^{15}_8\text{O}$ có độ phóng xạ $2,8 \cdot 10^7 \text{ Bq}$. Biết rằng hằng số phóng xạ của $^{15}_8\text{O}$ là $5,67 \cdot 10^{-3} \text{ s}^{-1}$.
a) Xác định số hạt nhân chất phóng xạ có trong mẫu khi đó.
b) Xác định số hạt positron mẫu chất phát ra trong khoảng thời gian $1,00 \text{ ms}$. Coi gần đúng
Giải
a) Xác định số hạt nhân chất phóng xạ có trong mẫu khi đó.
b) Xác định số hạt positron mẫu chất phát ra trong khoảng thời gian $1,00 \text{ ms}$. Coi gần đúng
Câu 7: Sau 1 năm trong 1 miligam $^{144}\text{Ce}$ có $2,5 \cdot 10^{18}$ hạt bị phân rã. Hỏi chu kì bán rã của $^{144}\text{Ce}$ bằng bao nhiêu? Lấy $N_A = 6,023 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$.
Giải
- Số nguyên tử chứa trong $1\text{mg}$ $^{144}\text{Ce}$ là: $N_0 = \frac{m}{M} N_A = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{144} \cdot 6,023 \cdot 10^{23} = 4,182 \cdot 10^{18}$
- Số nguyên tử bị phân rã trong thời gian $t = 1 \text{ năm}$ là: $\Delta N = N_0 (1 - 2^{-t/T}) \Rightarrow 2,5 \cdot 10^{18} = 4,182 \cdot 10^{18} (1 - 2^{-1/T}) \Rightarrow T \approx 278 \text{ ngày}$
Câu 8: Một mẫu than bùn khi được đem lên từ vùng đầm lầy cổ có chứa $980 \text{ µg}$ đồng vị phóng xạ $^{14}_6\text{C}$ Biết rằng chu kì bán rã của $^{14}\text{C}$ là $5730 \text{ năm}$. Hãy xác định:
a) khối lượng $^{14}\text{C}$ chứa trong mẫu than bùn này sau $2000 \text{ năm}$.
b) thời điểm tại đó khối lượng $^{14}\text{C}$ trong mẫu than bùn này còn lại $100 \text{ µg}$
Giải
a) Khối lượng $^{14}\text{C}$ chứa trong mẫu than bùn này sau $2000 \text{ năm}$ là:
$m_t = m_0 \cdot 2^{-t/T} = 980 \cdot 2^{-2000/5730} \approx 769,4 (\text{µg})$.
b) Thời điểm tại đó khối lượng $^{14}\text{C}$ trong mẫu than bùn này còn lại $100 \text{ µg}$ là:
$m_t = m_0 \cdot 2^{-t/T} \Rightarrow 100 = 980 \cdot 2^{-t/5730} \Rightarrow 2^{-t/5730} = \frac{100}{980} \Rightarrow -\frac{t}{5730} = \log_2(\frac{100}{980}) \Rightarrow t = -5730 \log_2(\frac{100}{980}) \approx 18867,64 (\text{năm})$.
Câu 9: Một mẫu chất phóng xạ có hằng số phóng xạ $\lambda = 0,1 \text{s}^{-1}$, ban đầu chứa $5 \cdot 10^{12}$ hạt nhân chưa phân rã. Hãy xác định số hạt nhân phóng xạ đã phân rã và độ phóng xạ sau $30 \text{ giây}$ kể từ lúc ban đầu
Giải
Số hạt nhân đã phân rã: $\Delta N = N_0 - N_t = N_0 (1 - e^{-\lambda t}) = 5 \cdot 10^{12} (1 - e^{-0,1 \cdot 30}) = 5 \cdot 10^{12} (1 - e^{-3}) \approx 4,75 \cdot 10^{12}$.
Độ phóng xạ khi đó: $H = \lambda N_t = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = 0,1 \cdot 5 \cdot 10^{12} e^{-0,1 \cdot 30} = 0,1 \cdot 5 \cdot 10^{12} e^{-3} \approx 2,49 \cdot 10^{10} (\text{Bq})$
```htmlCâu 10. Một mẫu chất phóng xạ có độ phóng xạ ban đầu là 128 phân rã/phút và chu kì bán rã là 4 ngày. Sao bao nhiêu ngày thì độ phóng xạ của mẫu chất giảm còn 32 phân rã/phút? (Kết quả làm tròn đến một chữ số có nghĩa).
Giải:
- Độ phóng xạ tại thời điểm t: $H = H_0.2^{-t/T} \Leftrightarrow 32=128.2^{-t/4} \Leftrightarrow 2^{-t/4} = \frac{32}{128} = \frac{1}{4} = 2^{-2}$
$\Rightarrow -t/4 = -2 \Rightarrow t=8$ ngày
Câu 11. Một phòng thí nghiệm ban đầu mua về một mẫu phóng xạ nguyên chất có khối lượng $m_0$. Chu kì bán rã của mẫu chất đó là 3 465 giây.
a) Tính hằng số phóng xạ của mẫu chất phóng xạ đó.
b) Sau bao lâu (tính từ lúc mua) thì 75% chất đó đã biến thành chất khác.
Giải )
a) Hằng số phóng xạ: $\lambda = \frac{\ln 2}{T} = 2,10^{-4} s^{-1}$
b) Khoảng thời gian để 75% chất đó đã biến thành chất khác (tức là số hạt nhân chưa phân rã còn lại là 25% $N_0$):
Theo định luật phóng xạ: $N(t) = N_0e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{N(t)}{N_0} = 2^{-t/T} = e^{-\lambda t}$
$\Rightarrow -2\ln 2 = -\lambda t$; thay $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ ta được $t = 2T = 6930$ s
Câu 12. Một mẫu chất phóng xạ polonium $_{84}^{210}$Po được cấp vào ngày 1 tháng 9. Lúc đó nó có độ phóng xạ là $2,0.10^6$Bq. Tới ngày 10 tháng 12 của năm đó, mẫu được lấy ra sử dụng trong một thí nghiệm. Hỏi độ phóng xạ của mẫu khi lấy ra sử dụng là bao nhiêu ? Số hạt nhân của chất phóng xạ còn lại trong mẫu lúc đó là bao nhiêu ? Biết chu kì bán rã của $_{84}^{210}$Po là 138 ngày.
Giải:
Từ ngày 1 tháng 9 đến ngày 10 tháng 12 năm đó là 101 ngày.
Độ phóng xạ của mẫu khi lấy ra sử dụng là: $H = H_0.2^{-t/T} = 2,0 \times 10^6 \times 2^{-101/138} \approx 1,2 \times 10^6 \text{ (Bq)}$
Số hạt nhân của chất phóng xạ còn lại trong mẫu lúc đó là: $N = \frac{H}{\lambda} = \frac{H}{\ln 2 / T} = \frac{1,2 \times 10^6 \times 138}{\ln 2} \approx 2,06 \times 10^{13}$
Câu 13: Cho biết Radium $(_{88}^{224}\text{Ra})$ có chu kỳ bán rã 3,7 ngày, số Avogadro là $N_A = 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$. Độ phóng xạ của một nguồn phóng xạ $_{88}^{224}\text{Ra}$ có khối lượng 32,4 pg bằng bao nhiêu Curie(Ci)? (Kết quả làm tròn đến 1 chủ số thập phân sau dấu phẩy)
Giải:
Độ phóng xạ của một nguồn phóng xạ $_{88}^{224}\text{Ra}$ có khối lượng 32,4 pg bằng:
$H = \lambda N = \frac{\ln 2}{T} \frac{m_0 N_A}{A_r} = \frac{\ln 2}{3,7 \times 86400} \times \frac{32,4 \times 10^{-6}}{224} \times 6,023 \times 10^{23} \times \frac{1 \text{Ci}}{3,7 \times 10^{10}} \approx 5,1 \text{(Ci)}$
Câu 14. Có hai mẫu chất phóng xạ có khối lượng ban đầu giống nhau. Tại thời điểm hiện tại mẫu thứ nhất có tuổi thọ lớn hơn mẫu thứ hai là $\Delta t = t_1-t_2 = 100$ ngày và độ phóng xạ của mẫu thứ nhất là $H_1 = 605,15.10^3$ Bq. Biết chu kì phóng xạ của chất phóng xạ là $T =138$ ngày. Độ phóng xạ của mẫu thứ hai $H_2 = x.10^9$ Bq. Giá trị của x bằng bao nhiêu?
Giải:
Gọi $H_0$ là độ phóng xạ ban đầu của mỗi mẫu chất, $t_1$ và $t_2$ lần lượt là tuổi thọ của mẫu phóng xạ thứ nhất và thứ hai, ta có:
$H_1=H_0.2^{-t_1/T} \Rightarrow \frac{H_1}{H_0}=2^{-t_1/T} \Rightarrow -t_1/T = \log_2 \frac{H_1}{H_0} \Rightarrow t_1 = -T \log_2 \frac{H_1}{H_0} = T \log_2 \frac{H_0}{H_1}$
$H_2=H_0.2^{-t_2/T} \Rightarrow \frac{H_2}{H_0}=2^{-t_2/T} \Rightarrow -t_2/T = \log_2 \frac{H_2}{H_0} \Rightarrow t_2 = -T \log_2 \frac{H_2}{H_0} = T \log_2 \frac{H_0}{H_2}$
$\Rightarrow \Delta t = t_1-t_2 = T \log_2 \frac{H_0}{H_1} - T \log_2 \frac{H_0}{H_2} = T \log_2 \frac{H_0/H_1}{H_0/H_2} = T \log_2 \frac{H_2}{H_1}$
Suy ra: $\log_2 \frac{H_2}{H_1} = \frac{\Delta t}{T} \Rightarrow \frac{H_2}{H_1} = 2^{\Delta t/T} \Rightarrow H_2 = H_1.2^{\Delta t/T}$
$H_2 = 605,15 \times 10^3 \times 2^{100/138} = 10^9 \text{ (Bq)}$
Từ $H_2 = x.10^9$, ta suy ra $x = 1$.
Câu 15. Đồng vị phóng xạ iodine $_{53}^{131}$ được sử dụng trong điều trị ung thư tuyến giáp có chu kì bán rã là 8,02 ngày. Mỗi mẫu $^{131}\text{I}$ nguyên chất mới sản xuất có khối lượng 125 g. Cho biết khối lượng mol nguyên tử của idine là 131 g/mol; số Avogadro $N_A = 6,02.10^{23}$ nguyên tử/mol.
a) Xác định hằng số phóng xạ của $^{131}\text{I}$
b) Xác định độ phóng xạ của mẫu đó.
c) Xác định độ phóng xạ của mẫu đó sau 28 ngày.
Giải
a) Hằng số phóng xạ: $\lambda = \frac{\ln 2}{T} = 10^{-6} \text{ (s}^{-1}\text{)}$
b) Độ phóng xạ: $H = \lambda N = \lambda \frac{m_0 N_A}{A_r} = 10^{-6} \frac{125}{131} \times 6,023 \times 10^{23} = 5,75 \times 10^{17} \text{ (Bq)}$
c) Độ phóng xạ của mẫu đó sau 28 ngày: $H'=H.2^{-t/T} = 5,75 \times 10^{17} \times 2^{-28/8,02} \approx 5,11 \times 10^6 \text{ (Bq)}$
Câu 16. Một phóng thí nghiệm lấy ra một mẫu chất phóng xạ cesium $_{55}^{134}\text{Cs}$ nguyên chất có khối lượng 11 µg. Chu kì bán rã của $^{134}\text{Cs}$ là 2,1 năm và khối lượng mol nguyên tử của $^{134}\text{Cs}$ là 134g / mol . Cho số Avogadro $N_A = 6,02.10^{23}$ nguyên tử/mol. Xác định
a) Hằng số phóng xạ của $^{134}\text{Cs}$
b) Độ phóng xạ của mẫu đó tại thời điểm lấy mẫu
c) Độ phóng xạ của mẫu sau đó 5,0 năm.
Giải:
a) Hằng số phóng xạ của $_{55}^{134}\text{Cs}$: $\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln 2}{2,1 \times 365 \times 86400} = 1,05 \times 10^{-8} \text{ (s}^{-1}\text{)}$
b) Số hạt nhân tại thời điểm lấy mẫu là:
$N_0 = \frac{m_0}{A_r} N_A = \frac{11 \times 10^{-6}}{134} \times 6,02 \times 10^{23} = 4,94 \times 10^{16}$
Độ phóng xạ của mẫu đó tại thời điểm lấy mẫu là:
$H_0 = \lambda N_0 = 1,05 \times 10^{-8} \times 4,94 \times 10^{16} = 5,187 \times 10^8 \text{ (Bq)}$
c) Độ phóng xạ của mẫu đó sau 5,0 năm là: $H = H_0.2^{-t/T} = 5,187 \times 10^8 \times 2^{-5/2,1} \approx 9,96 \times 10^7 \text{ (Bq)}$
Câu 17. Thành phần sữa bò có chứa potassium với nồng độ 2,00 g / l. Trong đó, có 0,0117% là đồng vị phóng xạ potassium $_{19}^{40}\text{K}$ với chu kì bán rã là $1,25.10^9$ năm.
a) Xác định độ phóng xạ của 1 lít sữa bò.
b) Sau tai nạn ở nhà máy điện hạt nhân Chernobyl vào năm 1986, người ta thấy có các đồng vị phóng xạ $_{53}^{131}\text{I}$ trong khí quyển. Mưa sẽ làm ô nhiễm đồng vị phóng xạ này vào cỏ và chuyển vào sữa bò. Người ta đo được độ phóng xạ của $^{131}\text{I}$ trong sữa bò ở Ba Lan lúc đó là 2,00 kBq / l. Độ phóng xạ này lớn hơn độ phóng xạ của $^{40}\text{K}$ trong sữa bao nhiêu lần? Biết chu kì bán rã của $^{131}\text{I}$ là 8,02 ngày. Sau bao lâu thì độ phóng xạ trong sữa bò $^{131}\text{I}$ giảm xuống bằng độ phóng xạ của $^{40}\text{K}$?
Giải
a) Độ phóng xạ của 1 lít sữa bò do potassium: $H = \lambda N = \frac{\ln 2}{T} N = \frac{\ln 2}{1,25 \times 10^9 \times 365 \times 86400} \times \frac{2,0 \times 0,0117/100}{40} \times 6,02 \times 10^{23} \approx 61,9 \text{(Bq)}$
b) Sau tai nạn Chernobyl, độ phóng xạ trong sữa bò do $^{131}\text{I}$ cao hơn độ phóng xạ trong sữa bò do $^{40}\text{K}$ khoảng
$\frac{2000}{61,9} \approx 32,3$ lần.
Thời gian để độ phóng xạ trong sữa bò do $^{131}\text{I}$ giảm xuống bằng độ phóng xạ do $^{40}\text{K}$ là:
$61,9 = 2000 \times 2^{-t/8,02} \Rightarrow t = 40,2$ ngày.
Câu 18. Một phòng thí nghiệm ban đầu mua về một mẫu polonium có chứa 2,1 g $_{84}^{210}\text{Po}$. Các hạt nhân $_{84}^{210}\text{Po}$ phóng xạ $\alpha$ và biến thành hạt nhân bền X. Xác định chu kì bán rã của $_{84}^{210}\text{Po}$ biết rằng trong 1 năm sau đó nó tạo ra 0,0084 mol khí He.
Giải:
- Số nguyên tử $_{84}^{210}\text{Po}$ tại thời điểm ban đầu: $N_0 = \frac{m_0}{A_r} N_A = 6,02 \times 10^{21}$ nguyên tử.
- Số nguyên tử He được tạo thành bằng số nguyên tử Po đã phân rã: $\Delta N = N_0(1-2^{-t/T})$
- Số nguyên tử He được tạo thành trong một năm là: $\Delta N = (0,0084 \text{ mol}) \times (6,02 \times 10^{23}) = 5,06 \times 10^{21}$ nguyên tử
- Ta có: $\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - 2^{-t/T} = \frac{5,06 \times 10^{21}}{6,02 \times 10^{21}} \approx 0,84$
$\Rightarrow 1 - 2^{-t/T} \approx 0,84 \Rightarrow 2^{-t/T} \approx 1 - 0,84 = 0,16$. (The text shows 0,159)
$\Rightarrow 2^{-t/T} = 0,159$ (With t = 1 năm)
$\Rightarrow T = 0,378$ năm $= 138$ ngày.
Câu 19. Một mẫu chất phóng xạ, có chu kì bán rã 2 ngày, gồm $6,4.10^{11}$ hạt nhân nguyên tử. Một mẫu chất phóng xạ khác, có chu kì bán rã 3 ngày, gồm $8.10^{10}$ hạt nhân nguyên tử. Sau bao nhiêu ngày số hạt nhân nguyên tử chưa phóng xạ của hai mẫu đó bằng nhau?
```Giải:
Tại thời điểm t, hai mẫu có số hạt nhân còn lại như nhau: $N₁ = N₂$
$\Rightarrow N_{01}2 T = N_{02}2 T = T₁=T₂ = 1-2^7=8$
$(\frac{1}{3} - \frac{1}{1}) = -\frac{2}{3}$
$3 = 3t = 18$
- Sau 18 ngày hai mẫu có số hạt nhân còn lại như nhau.
Câu 20. Chất phóng xạ polonium $^{210}_{84}$Po phát ra tia $\alpha$ và biến đổi thành chì $^{206}_{82}$Pb. Gọi chu kì bán rã của polonium là T. Ban đầu (t = 0) có một mẫu $^{210}_{84}$Po nguyên chất. Trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2T, có 126mg $^{210}_{84}$Po trong mẫu bị phân rã. Lấy khối lượng nguyên tử tính theo đơn vị u bằng số khối của hạt nhân của nguyên tử đó. Trong khoảng thời gian từ t = 2T đến t = 3T, lượng $^{206}_{82}$Pb được tạo thành trong mẫu có khối lượng là bao nhiêu mg ?
Giải:
Ta có: $m = m_0 (1-2^{-\frac{t}{T}})$
$126=m_0 (1-2^{-2})\Rightarrow m_0=168(\text{g})$
$\Delta N=N_0 (2^{-2T}-2^{-3T}) \frac{m_{pb}}{206 \cdot 210}$
$m_{pb} = 168 (2^{-2-2} - 2^{-2-3}) = 20,6(\text{mg})$
Câu 21. Hạt nhân $^{238}_{92}$U sau một chuỗi các quá trình phóng xạ $\alpha$ và $\beta^-$ liên tiếp biến đổi thành hạt nhân $^{206}_{82}$Pb bền theo phương trình chuỗi phản ứng:
Trong đó, x và y lần lượt là số lần phóng xạ $\alpha$ và $\beta^-$ trong chuỗi phóng xạ.
a) Xác định x và y.
b) Trong một mẫu quặng uranium, người ta thấy có lẫn chì $^{206}_{82}$Pb cùng $^{238}_{92}$U. Biết rằng toàn bộ chì được tạo ra có nguồn gốc từ uranium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của $^{238}_{92}$U là 4,47 tỉ năm. Tính tuổi của mẫu quặng trong hai trường hợp:
i) Tỉ lệ nguyên tử tìm thấy là cứ 1 nguyên tử $^{206}_{82}$Pb thì có 5 nguyên tử $^{238}_{92}$U .
ii) Tỉ lệ khối lượng tìm thấy là cứ 1g $^{206}_{82}$Pb thì có 5g $^{238}_{92}$U
Giải
a) $^{232}\text{U} \to ^{206}\text{Pb} + x^{4}_{2}\text{He} + y^{-1}_{0}e$.
$238 = 206 + 4x \Rightarrow x=8$
$192 = 82 + 2x - y \Rightarrow y=6$
b) i. Gọi số hạt $^{238}_{92}$U ban đầu là $N_0$, số hạt $^{238}_{92}$U còn lại là $N \Rightarrow$ số hạt $^{238}_{92}$U bị phân rã cũng chính là số hạt $^{206}_{82}$Pb được tạo thành là: $\Delta N = N_0 - N = N.(1 - 2^{-\frac{t}{T}})$
Theo đề bài: $\frac{\Delta N}{N} = \frac{1}{5}$
$\frac{N_0(1 - 2^7)}{N \cdot 2^7} = \frac{1}{5} \Rightarrow 1 - 2^7 = \frac{1}{5} \Rightarrow -\frac{t}{T} = \log_2(\frac{1}{5}) = -T\log_2(\frac{1}{5}) = 1,18.10^9 \text{ năm}$
Vậy niên đại của mẫu quặng là $1,18.10^9$ năm.
ii. Mối liên hệ giữa khối lượng và số nguyên tử trong một mẫu chất là: $m = \frac{N}{N_A} A$.
Do đó, tỉ lệ khối lượng giữa $^{206}_{82}$Pb và $^{238}_{92}$U là $\frac{m_{pb}}{m_U} = \frac{N_{Pb}}{N_U} \frac{206}{238}$
$\frac{\Delta N}{N} = \frac{238}{5 \cdot 206} = \frac{238}{1030} = \frac{119}{515}$
$\frac{N_0(1 - 2^7)}{N_0 2^7} = \frac{119}{515}$
$2^7 = \frac{515}{634}$
$\Rightarrow t = -T\log_2(\frac{515}{634}) = 1,34.10^9 \text{ năm}$
Dạng khác
Câu 1. Để điều trị ung thư tuyến giáp, một bệnh nhân đã nhận một liều dược chất phóng xạ chứa 25 mg $^{131}_{53}$I. Biết rằng $^{131}_{53}$I là chất phóng xạ $\beta^-$ có chu kì bán rã là 8,02 ngày.
a) Viết phương trình phóng xạ của $^{131}_{53}$I.
b) Tính độ phóng xạ của liều thuốc tại thời điểm bệnh nhân sử dụng.
c) Tính độ phóng xạ của liều thuốc sau khi sử dụng 7,00 ngày.
d) Tính số hạt $\beta^-$ phát ra từ liều thuốc trong 7,00 ngày đó.
Giải
a) Phương trình phóng xạ của $^{131}_{53}$I: $^{131}_{53}\text{I} \to ^{131}_{54}\text{Xe} + \beta^{-} + \bar{\nu}_e$.
b) Độ phóng xạ của liều thuốc tại thời điểm bệnh nhân sử dụng:
$H_0 = \lambda N_0 = \frac{\ln 2}{T} \frac{m}{A} N_A$
$H_0 = \frac{\ln 2}{8,02 \cdot 86400} \frac{25 \cdot 10^{-3}}{131} 6,02 \cdot 10^{23} = 1,15.10^{14} (\text{Bq})$
c) Độ phóng xạ của liều thuốc sau khi sử dụng 7,00 ngày:
$H = H_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}} = 1,15.10^{14} \cdot 2^{-\frac{7}{8,02}} = 6,28.10^{13} (\text{Bq})$
d) Số hạt $\beta^-$ phát ra từ liều thuốc trong 7,00 ngày đó bằng số hạt nhân mất đi:
$\Delta N = N_0 (1 - 2^{-\frac{t}{T}}) = \frac{25 \cdot 10^{-3}}{131} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} (1 - 2^{-\frac{7}{8,02}}) = 5,21.10^{19} (\text{electron})$
Câu 2: Các nhà khoa học đã xác định được độ phóng xạ của 1 g mẫu carbon trong cơ thể sinh vật sống là 0,231 Bq. Biết rằng, trong số các đồng vị của carbon có trong mẫu, chỉ có $^{14}$C là đồng vị phóng xạ với chu kì bán rã là 5 730 năm.
a) Xác định số nguyên tử $^{14}$C có trong 1 g mẫu carbon đó.
b) Vào ngày 19/9/1991, trong khi đang tìm đường vượt qua dãy Otztal Alps, hai nhà leo núi người Đức đã phát hiện thấy xác ướp người cổ được bảo quản hầu như nguyên vẹn trong băng tuyết tại Hauslabjoch, khu vực giữa biên giới Áo và Italia. Xác ướp đó được đặt tên là người băng Otzi. Tại thời điểm này, các nhà khoa học đã đo được độ phóng xạ của 1 g mẫu carbon trong cơ thể người băng Otzi là 0,121 Bq. Xác định niên đại của người băng đó.
Giải
a) Độ phóng xạ $H = \lambda N \Rightarrow N = \frac{H}{\lambda} = \frac{HT}{\ln 2}$.
b) $H = H_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$. $0,121 = 0,231 \cdot 2^{-\frac{t}{5730}} \Rightarrow t = 5345 \text{ năm}$.
Câu 3: Một tượng cổ bằng gỗ có độ phóng xạ H. Một mảnh gỗ của cây vừa mới chặt, nếu có khối lượng tương đương sẽ có độ phóng xạ là 1,5H. Chu kì bán rã của $^{14}$C là 5600 năm. Tính tuổi của tượng gỗ cổ này.
Giải
- Ta có $H = H_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow e^{-\lambda t} = \frac{H}{H_0} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3} \Rightarrow -\lambda t = \ln(\frac{2}{3})$
$\Rightarrow t = -\frac{T}{\ln 2} \ln(\frac{2}{3}) \approx \frac{0,405T}{0,693} \approx 0,584T$
$\approx 0,584 \times 5600 \approx 3272$ năm.
- Vậy tuổi của tượng gỗ là 3272 năm.
Câu 4: Trong một mẫu đá được các nhà du hành mang về Trái Đất từ Mặt Trăng, các nhà khoa học phát hiện có 75% potassium $^{40}_{19}$K ban đầu đã biến thành argon $^{40}_{18}$Ar. Biết rằng, khi được hình thành, mẫu đá không chứa argon; toàn bộ argon được tạo ra có nguồn gốc từ potassium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của $^{40}_{19}$K là $1,25.10^9$ năm.
a) Xác định tuổi của mẫu đá đó.
b) Sau bao nhiêu lâu nữa thì lượng potassium $^{40}_{19}$K còn lại bằng 6,25% lượng potassium $^{40}_{19}$K ban đầu?
Giải
a) Tuổi của mẫu đá đó là: $\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - 2^7 = 0,75 \Rightarrow t = 2T = 2,5.10^9 (\text{năm})$
b) Ta có: $\frac{N}{N_0} = 2^7 = 6,25\% \Rightarrow t = 4T = 10.10^9 (\text{năm})$
Vậy sau $7,5$ tỉ năm nữa thì lượng potassium $^{40}_{19}$K còn lại bằng $6,25\%$ lượng potassium $^{40}_{19}$K ban đầu.
