1. Tam thức bậc hai:
- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng $ax^2 + bx + c$, trong đó a, b, c là những số cho trước với $a \neq 0$.
- Nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- $\Delta = b^2 - 4ac$ và $\Delta' = b'^2 - ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$.
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong các bảng sau:
-
Trường hợp 1: $\Delta < 0$ (tam thức bậc hai vô nghiệm).
a > 0
x $-\infty$ $+\infty$ f(x) + a < 0
x $-\infty$ $+\infty$ f(x) - Kết luận
x $-\infty$ $+\infty$ f(x) Cùng dấu với a $af(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
-
Trường hợp 2: $\Delta = 0$ (tam thức bậc hai có nghiệm kép $x_0 = -\frac{b}{2a}$).
a > 0
x $-\infty$ $x_0$ $+\infty$ f(x) + 0 + a < 0
x $-\infty$ $x_0$ $+\infty$ f(x) - 0 - Kết luận
x $-\infty$ $x_0$ $+\infty$ f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a $af(x) > 0$ với mọi $x \neq x_0$
-
Trường hợp 3: $\Delta > 0$ (tam thức bậc hai có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$)).
a > 0
x $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ f(x) + 0 - 0 + a < 0
x $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ f(x) - 0 + 0 - Kết luận
x $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ f(x) Cùng dấu với a 0 Khác dấu với a 0 Cùng dấu với a $af(x) < 0$ với mọi $x \in (x_1; x_2)$
$af(x) > 0$ với mọi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$
Tổng quát:
Cho tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$, ta có:
- $ax^2 + bx + c > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
- $ax^2 + bx + c \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases}$
- $ax^2 + bx + c < 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
- $ax^2 + bx + c \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases}$
