NỘI DUNG ÔN TẬP TOÁN 10
- HỌC KÌ II -
Chương VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. Quy tắc cộng và nhân
- Quy tắc cộng: Khi công việc có thể thực hiện theo 2 phương án không trùng nhau
$m + n$ (cách)
- Quy tắc nhân: Khi công việc được chia thành nhiều công đoạn
$m \times n$ (cách)
II. Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp
- Hoán vị: Khi sắp xếp n phần tử của A theo thứ tự
$P_n = n(n-1)(n-2)...2.1$
hoặc $P_n = n!$ ; quy ước $0! = 1$
- Chỉnh hợp: Khi cần lấy một phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự,
hoặc k phần tử từ A
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
- Tổ hợp: Khi lấy ra mỗi tập con gồm k phần tử từ A nhưng không sắp xếp thứ tự
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
III. Nhị thức Newton
Với mọi số tự nhiên n, ta có
$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + ... + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n$
* Đây là công thức của nhị thức Newton, gọi tắt là Nhị thức Newton
Chương IX PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. Tọa độ của vectơ
- Trục tọa độ có gốc là O và một vectơ $\vec{e}$ có độ dài bằng 1 kí hiệu là $(O; \vec{e})$
- Hệ trục tọa độ gồm hai trục $(O; \vec{i})$ và $(O; \vec{j})$ vuông góc nhau, kí hiệu là $(O; \vec{i}; \vec{j})$
- Trong mặt phẳng tọa độ, ta có các biểu thức vectơ sau:
$\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \Leftrightarrow M(x; y)$
1) $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x; a_y + b_y)$
2) $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x ; a_y - b_y)$
3) $k\vec{a} = (ka_x; ka_y)$
4) $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$
- Cho ba điểm $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$ và trung điểm $M(x_M; y_M)$ của đoạn AB, trọng tâm $G(x_G; y_G)$ ta có các biểu thức sau
1) $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$
2) Tọa độ trung điểm: $(x_M; y_M) = \left( \frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2} \right)$
3) Tọa độ trọng tâm của tam giác: $(x_G; y_G) = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$
- Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, $\vec{a}(a_1; a_2)$, $\vec{b}(b_1; b_2)$ có
1) $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0$
2) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 \Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$ (với $b_1, b_2 \neq 0$)
3) $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
4) $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
II. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
- Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương nếu giá song song hoặc trùng với $\Delta$.
- Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến nếu giá vuông góc với vectơ $\vec{u}$.
$\Delta$ có $\vec{n} = (a; b) \implies \vec{u} = (b; -a)$ hoặc $\vec{u} = (-b; a)$
ngược lại, nếu có $\vec{u} = (a; b) \implies \vec{n} = (b; -a)$ hoặc $\vec{n} = (-b; a)$
- Nếu $\vec{u}$ ($\vec{n}$) là vectơ chỉ phương (pháp tuyến) của $\Delta$ thì $k\vec{u}$ ($k\vec{n}$) cũng là vectơ với cùng công dụng
* Phương trình tham số
$\begin{cases} x = x_0 + tu_1 \\ y = y_0 + tu_2 \end{cases}$ (với $u_1^2 + u_2^2 > 0, t \in \mathbb{R}$)
PTTS của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có $\vec{u} = (u_1; u_2)$
* Phương trình tổng quát
$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$
(với $c = -ax_0 - by_0$)
PTTQ của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $N_0(x_0; y_0)$ và có $\vec{n} = (a; b)$
* Phương trình đoạn chắn (cắt trục Ox và Oy tại $A(a; 0)$ và $B(0; b)$)
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
* Phương trình tọa độ đi qua hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$
$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} = \frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ (với $x_B \neq x_A, y_B \neq y_A$)
* Góc giữa hai đường thẳng
$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ (với $\vec{n_1}(a_1; b_1)$ và $\vec{n_2}(a_2; b_2)$)
* Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
$d(M_0; \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
* Xét vị trí tương đối
1) Xét tính vuông góc: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ rồi xét phương.
Ta có $\vec{n_1} = (a_1; b_1)$
$\vec{n_2} = (a_2; b_2)$ } $\implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ hoặc $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$ thì cùng phương
2) Nếu cùng phương
- Lấy một điểm B tùy ý trên $\Delta_1$ và thay vào $\Delta_2$
- Nếu $B \in \Delta_2$: trùng nhau ($\Delta_1 \equiv \Delta_2$)
- Nếu $B \notin \Delta_2$: song song ($\Delta_1 // \Delta_2$)
3) Nếu không cùng phương
- $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại $M(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình sau
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$
III. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
- Phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính R
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$
- Phương trình đường tròn có $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2+b^2-c}$ khi và chỉ khi $a^2+b^2-c > 0$.
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$
- Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I(a; b)$ tại $M_0(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn là
$(a - x_0)(x - x_0) + (b - y_0)(y - y_0) = 0$
hoặc $(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$
(vì nhận vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\vec{IM_0}$)
IV. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ
1. Elip (E)
- Cho hai điểm $F_1, F_2$ cố định và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1F_2$.
- Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_1M + F_2M = 2a$.
- $F_1, F_2$ là tiêu điểm
- $F_1F_2 = 2c$ là tiêu cự
- Các điểm $A_1, A_2, B_1, B_2$ là các đỉnh của Elip
- $A_1A_2$ là trục lớn (2a) và $B_1B_2$ là trục nhỏ (2b)
- Giao điểm O của 2 trục gọi là tâm đối xứng
- Nếu $M(x; y) \in (E)$ thì $|x| \le a$ và $|y| \le b$
* Phương trình chính tắc
$M(x; y) \in (E) \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
trong đó $b^2 = a^2 - c^2$
2. Hypebol (H)
- Cho hai điểm $F_1, F_2$ cố định và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn $F_1F_2$.
- Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $|F_1M - F_2M| = 2a$.
- Các điểm $F_1, F_2$ gọi là tiêu điểm
- $F_1F_2 = 2c$ gọi là tiêu cự của hypebol ($c > a$)
* Phương trình chính tắc
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$
$M(x; y) \in (H) \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
- Các điểm $A_1, A_2$ gọi là đỉnh, đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục thực.
- Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng.
- Nếu $M(x; y) \in (H)$ thì $x \le -a$ hoặc $x \ge a$.
3. Parabol (P)
* Cho một điểm F và đường $\Delta$ cố định không đi qua F
- Parabol là tập hợp các điểm M cách đều F và $\Delta$.
- F là tiêu điểm
- $\Delta$ là đường chuẩn
* Phương trình chính tắc
$M(x; y) \in (P) \Leftrightarrow y^2 = 2px$
- O là đỉnh của (P), Ox là trục đối xứng và p là tham số tiêu
Chương X XÁC SUẤT
- Tập hợp các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu ($\Omega$).
- Biến cố là tập con của không gian mẫu (A, B, C, ...) và một kết quả thuộc A là kết quả làm cho A xảy ra, hoặc kết quả thuận lợi cho A.
+ Biến cố chắc chắn ($\Omega$): luôn xảy ra
+ Biến cố không thể ($\emptyset$): không bao giờ xảy ra.
- Xác suất của biến cố A là một số ($P(A)$)
$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
- Biến cố đối của A là biến cố không xảy ra A (kí hiệu $\bar{A}$)
$\bar{A} = \Omega \setminus A$ và $P(\bar{A}) + P(A) = 1$
- Nếu một biến cố có xác suất rất bé, thì gần như sẽ không xảy ra trong mọi phép thử.
