1. Tích của một số với một Vectơ
a. Khái niệm
Tích của một số thực \( k \) với một vectơ \( \mathbf{u} \) là một vectơ mới, được ký hiệu là \( k\mathbf{u} \). Vectơ này có các đặc điểm sau:
- Độ dài: Bằng độ dài của \( \mathbf{u} \) nhân với giá trị tuyệt đối của \( k \). Tức là \( \|k\mathbf{u}\| = |k| \times \|\mathbf{u}\| \).
- Hướng: Nếu \( k > 0 \), vectơ \( k\mathbf{u} \) có cùng hướng với \( \mathbf{u} \). Nếu \( k < 0 \), vectơ \( k\mathbf{u} \) có hướng ngược lại so với \( \mathbf{u} \).
- Vectơ không: Nếu \( k = 0 \), thì \( k\mathbf{u} \) là vectơ không \( \mathbf{0} \).
b. Biểu diễn trong tọa độ
Nếu vectơ \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) và số thực \( k \) là một hằng số, thì:
\[k\mathbf{u} = (ku_1, ku_2)\]
Ví dụ:
Giả sử \( \mathbf{u} = (2, 3) \) và \( k = 4 \):
\[4\mathbf{u} = 4 \times (2, 3) = (8, 12)\]
Nếu \( k = -1 \):
\[-1\mathbf{u} = (-1) \times (2, 3) = (-2, -3)\]
2. Tích vô hướng của hai Vectơ
a. Khái niệm
Tích vô hướng (còn gọi là tích chấm) của hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \) là một số thực, được ký hiệu là \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \). Tích vô hướng được định nghĩa là:
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\times \|\mathbf{v}\| \times \cos\theta\]
Trong đó:
- \( \|\mathbf{u}\| \) và \( \|\mathbf{v}\| \) là độ dài của hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \).
- \( \theta \) là góc giữa hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \).
b. Biểu diễn trong tọa độ
Nếu \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) và \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \), thì tích vô hướng của chúng được tính như sau:
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2
\]
c. Ý nghĩa của tích vô hướng
- Nếu \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \), tức là \( \cos\theta = 0 \), thì hai vectơ vuông góc với nhau (góc giữa chúng là 90°).
- Nếu \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} > 0 \), tức là \( \cos\theta > 0 \), thì góc giữa hai vectơ là góc nhọn (nhỏ hơn 90°).
- Nếu \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} < 0 \), tức là \( \cos\theta < 0 \), thì góc giữa hai vectơ là góc tù (lớn hơn 90°).
d. Ví dụ
Giả sử \( \mathbf{u} = (3, 4) \) và \( \mathbf{v} = (2, -1) \):
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2\]
Ở đây, \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2 \), cho thấy góc giữa hai vectơ là góc nhọn.
3. Ứng dụng
Tích vô hướng và tích của một số với một vectơ có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:
- Vật lý: Trong cơ học, tích vô hướng được sử dụng để tính công (work) khi một lực tác dụng lên một vật di chuyển theo hướng của vectơ lực.
- Kỹ thuật: Dùng trong mô phỏng các hệ thống cơ học, điện tử, nơi cần xác định mối quan hệ góc giữa các vectơ lực, vận tốc, hoặc gia tốc.
- Đồ họa máy tính: Sử dụng để xác định hướng chiếu sáng, bóng đổ và các hiệu ứng 3D khác trong đồ họa.
Hiểu rõ các phép toán này giúp bạn áp dụng hiệu quả trong các bài toán và tình huống thực tế, từ việc giải quyết các vấn đề hình học đến việc mô phỏng các hệ thống kỹ thuật phức tạp.