1. Khái niệm vectơ
Vectơ là một đối tượng trong toán học, được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có hai đặc điểm chính:
- Độ dài: Là chiều dài của vectơ, ký hiệu là \( \|\mathbf{u}\| \) với \( \mathbf{u} \) là một vectơ.
- Hướng: Là hướng mà vectơ chỉ, từ điểm bắt đầu đến điểm kết thúc.
Vectơ thường được ký hiệu bằng chữ cái in đậm như \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{a}, \mathbf{b} \), hoặc bằng chữ cái với mũi tên ở trên \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \).
2. Biểu diễn vectơ
Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) được biểu diễn bằng đoạn thẳng nối từ điểm \( A \) (điểm đầu) đến điểm \( B \) (điểm cuối). Độ dài của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là khoảng cách từ \( A \) đến \( B \), ký hiệu là \( \|\overrightarrow{AB}\| \).
Nếu \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \), thì vectơ \( \overrightarrow{AB} \) có tọa độ:
\[\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]
3. Vectơ không (zero vector)
Vectơ có độ dài bằng 0, tức là điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, gọi là vectơ không, ký hiệu là \( \mathbf{0} \).
4. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \). Tổng của hai vectơ \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) là một vectơ có đặc điểm sau:
- Điểm đầu của vectơ tổng trùng với điểm đầu của vectơ \( \mathbf{u} \).
- Điểm cuối của vectơ tổng là điểm cuối của vectơ \( \mathbf{v} \) khi điểm đầu của nó đặt tại điểm cuối của vectơ \( \mathbf{u} \).
Trong tọa độ, nếu \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) và \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \), thì:
\[\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\]
5. Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ \( \mathbf{u} - \mathbf{v} \) là tổng của vectơ \( \mathbf{u} \) và vectơ đối của \( \mathbf{v} \) (vectơ đối của \( \mathbf{v} \) là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \( \mathbf{v} \)).
Trong tọa độ, nếu \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) và \( \mathbf{v} = (v_1, v_2) \), thì:
\[\mathbf{u} - \mathbf{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)\]
6. Quy tắc hình bình hành
Một cách khác để tìm tổng của hai vectơ là sử dụng quy tắc hình bình hành:
- Nếu \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \) cùng gốc, ta vẽ hình bình hành mà \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \) là hai cạnh kề. Khi đó, vectơ tổng \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) là đường chéo của hình bình hành này xuất phát từ gốc chung của hai vectơ.
Ví dụ:
Giả sử hai vectơ \( \mathbf{u} = (2, 3) \) và \( \mathbf{v} = (4, 1) \):
- Tổng của hai vectơ:
\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4) \]
- Hiệu của hai vectơ
\[ \mathbf{u} - \mathbf{v} = (2 - 4, 3 - 1) = (-2, 2) \]
7. Ứng dụng của Vectơ:
Vectơ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như:
- Vật lý: Mô tả lực, vận tốc, gia tốc.
- Kỹ thuật: Thiết kế đường cong, mô phỏng chuyển động.
- Đồ họa máy tính: Biểu diễn hình ảnh, chuyển động trong không gian 3D (Blender, After Effects,...).
Hiểu rõ về vectơ và các phép toán liên quan giúp bạn áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế và lý thuyết.