1. Khái niệm cơ bản
Hệ của bất phương trình bậc nhất hai ẩn bao gồm nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn cùng lúc. Mục tiêu là tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) sao cho tất cả các bất phương trình trong hệ đều được thỏa mãn đồng thời.
2. Ví dụ cụ thể
Xét hệ bất phương trình sau:
\[
\begin{cases}
2x + 3y \leq 12 \\
x - y \geq 2
\end{cases}
\]
Bước 1: Biểu diễn từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ
a. Bất phương trình đầu tiên
Biểu diễn đường thẳng \( 2x + 3y = 12 \):
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( 3y = 12 \) \( \Rightarrow y = 4 \), điểm \( (0, 4) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( 2x = 12 \) \( \Rightarrow x = 6 \), điểm \( (6, 0) \).
Nối hai điểm này lại để có đường thẳng \( 2x + 3y = 12 \).
Xác định miền nghiệm cho bất phương trình \( 2x + 3y \leq 12 \):
- Chọn điểm \( (0, 0) \) để kiểm tra: \( 2(0) + 3(0) \leq 12 \) \( \Rightarrow 0 \leq 12 \), điều này đúng. Nên miền nghiệm là phía dưới và bên trái của đường thẳng.
b. Bất phương trình thứ hai
Biểu diễn đường thẳng \( x - y = 2 \):
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( -y = 2 \) \( \Rightarrow y = -2 \), điểm \( (0, -2) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( x = 2 \), điểm \( (2, 0) \).
Nối hai điểm này lại để có đường thẳng \( x - y = 2 \).
Xác định miền nghiệm cho bất phương trình \( x - y \geq 2 \):
- Chọn điểm \( (0, 0) \) để kiểm tra: \( 0 - 0 \geq 2 \) \( \Rightarrow 0 \geq 2 \), điều này sai. Nên miền nghiệm là phía trên và bên phải của đường thẳng.
Bước 2: Tìm miền nghiệm chung
Kết hợp các miền nghiệm từ các bất phương trình:
- Miền nghiệm của hệ là phần giao giữa hai miền nghiệm đã xác định.
Bước 3: Vẽ đồ thị và xác định miền nghiệm
Vẽ đường thẳng \( 2x + 3y = 12 \) và \( x - y = 2 \), rồi tô màu các khu vực tương ứng để xác định miền chung.
3. Ví dụ cụ thể
Xét hệ sau:
\[
\begin{cases}
x + y \geq 3 \\
x - y \leq 1
\end{cases}
\]
a. Biểu diễn từng bất phương trình
- Bất phương trình \( x + y \geq 3 \):
- Đường thẳng \( x + y = 3 \):
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( y = 3 \), điểm \( (0, 3) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( x = 3 \), điểm \( (3, 0) \).
- Miền nghiệm là phía trên và bên phải của đường thẳng.
- Bất phương trình \( x - y \leq 1 \):
- Đường thẳng \( x - y = 1 \):
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( -y = 1 \) \( \Rightarrow y = -1 \), điểm \( (0, -1) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( x = 1 \), điểm \( (1, 0) \).
- Miền nghiệm là phía dưới và bên trái của đường thẳng.
b. Tìm miền nghiệm chung
- Miền nghiệm của hệ là phần giao giữa hai miền nghiệm đã xác định.
4. Tóm lược nội dung
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có các bước chính ta cần phải lưu ý như sau:
- Biểu diễn các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
- Xác định miền nghiệm cho từng bất phương trình.
- Tìm phần giao của các miền nghiệm để có nghiệm chung.
Việc nắm vững cách giải và biểu diễn hệ bất phương trình giúp học sinh có khả năng phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình toán THPT.