Khái niệm cơ bản
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một bất phương trình có dạng tổng quát như sau:
ax + by ≤ c hoặc ax + by ≥ c
Trong đó:
- x và y là hai ẩn số.
- a và b và c là các hằng số, với a, b ≠ 0.
Các dấu > và < và ≤ và ≥ gọi là dấu bất đẳng thức.
2. Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ
Để giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta thường biểu diễn nó trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Bao gồm các bước như sau:
Bước 1: Biểu diễn đường thẳng tương ứng
Ví dụ: Với bất phương trình 2x + 3y ≤ 6, ta cần vẽ đường thẳng \( 2x + 3y = 6 \) trên mặt phẳng tọa độ.
- Tìm hai điểm đặc trưng của đường thẳng này:
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( 3y = 6 \) \( \Rightarrow y = 2 \). Vậy ta có điểm \( (0, 2) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( 2x = 6 \) \( \Rightarrow x = 3 \). Vậy ta có điểm \( (3, 0) \).
- Nối hai điểm này lại với nhau, ta có đường thẳng \( 2x + 3y = 6 \).
Bước 2: Xác định miền nghiệm
Miền nghiệm là phần mặt phẳng thoả mãn điều kiện của bất phương trình.
- Chọn một điểm không nằm trên đường thẳng, thường là \( (0, 0) \), để kiểm tra.
- Thay điểm \( (0, 0) \) vào bất phương trình: \( 2(0) + 3(0) \leq 6 \) \( \Rightarrow 0 \leq 6 \). Điều này đúng, nên miền nghiệm là phần mặt phẳng chứa điểm \( (0, 0) \).
- Tô màu phần mặt phẳng này để minh họa miền nghiệm của bất phương trình.
3. Một số lưu ý
- Nếu bất phương trình có dấu \( \leq \) hoặc \( \geq \), thì đường thẳng là một phần của miền nghiệm (vẽ đường liền).
- Nếu bất phương trình có dấu \( < \) hoặc \( > \), thì đường thẳng không thuộc miền nghiệm (vẽ đường nét đứt).
4. Ví dụ cụ thể
Giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình \( 3x - 4y > 12 \):
- Bước 1: Vẽ đường thẳng \( 3x - 4y = 12 \):
- Cho \( x = 0 \), tính \( y \): \( -4y = 12 \) \( \Rightarrow y = -3 \), điểm \( (0, -3) \).
- Cho \( y = 0 \), tính \( x \): \( 3x = 12 \) \( \Rightarrow x = 4 \), điểm \( (4, 0) \).
- Nối hai điểm trên, ta có đường thẳng.
- Bước 2: Chọn điểm \( (0, 0) \) để kiểm tra:
- Thay vào: \( 3(0) - 4(0) > 12 \) \( \Rightarrow 0 > 12 \), điều này sai. Nên miền nghiệm là phần mặt phẳng không chứa điểm \( (0, 0) \).
- Tô màu phần còn lại để biểu diễn nghiệm.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một phần quan trọng trong môn toán lớp 10 Cánh diều và là nền tảng cho việc giải các bài toán về hệ bất phương trình và phương trình trong tương lai. Khi nắm vững cách giải và biểu diễn chúng, học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc tiếp cận các kiến thức nâng cao hơn.